Escreva a forma da decomposição em frações parciais para as seguintes funções racionais.
2 s+4(s+1)(s-2) s

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de decomposição em frações parciais! O enunciado pede para decompor a função racional 2 s + 4(s + 1)(s - 2) s. Vamos precisar entender como separar essa fração em partes mais simples usando frações menores, que facilitam bastante a nossa vida na hora de integrar ou resolver equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma fração parcial. É uma técnica que quebra uma fração maior em somas de frações menores com denominadores mais simples. No nosso caso, o denominador é (s + 1)(s - 2)s, que são três fatores distintos: s, s + 1 e s - 2.

Passo 3

Agora, vamos supor que nossa fração pode ser escrita como a soma de três frações, cada uma com um desses denominadores. Assim, temos:
2 s + 4(s + 1)(s - 2)s = As + Bs + 1 + Cs - 2
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar esses valores, vamos eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da equação por (s + 1)(s - 2)s:
2 s + 4 = A(s + 1)(s - 2) + B(s)(s - 2) + C(s)(s + 1)

Passo 5

Agora, vamos escolher valores de s que simplificam a equação e permitem encontrar A, B e C facilmente.
  1. Para encontrar A: escolha s = 0:
2(0) + 4 = A(0 + 1)(0 - 2) Rightarrow 4 = A(1)(-2) Rightarrow A = -2
  1. Para encontrar B: escolha s = -1:
2(-1) + 4 = B(-1)(-1 - 2) Rightarrow -2 + 4 = B(-1)(-3) Rightarrow 2 = 3B Rightarrow B = 23
  1. Para encontrar C: escolha s = 2:
2(2) + 4 = C(2)(2 + 1) Rightarrow 4 + 4 = C(2)(3) Rightarrow 8 = 6C Rightarrow C = 43

Resposta

Portanto, a decomposição em frações parciais da função dada é:
2 s + 4(s + 1)(s - 2)s = -2s + 23s + 1 + 43s - 2

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