Usando a transformada da integral, calcule , sabendo que é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a função usando a transformada de Laplace. A gente sabe que a transformada de Laplace de é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformada de Laplace inversa e usar frações parciais para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da expressão . Notamos que podemos fatorar da seguinte forma:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos usar frações parciais para decompor a expressão . Queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de , e , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
Se :
Agora, para encontrar , vamos comparar os coeficientes dos termos com :
O lado esquerdo não tem , então:
Ainda faltando , para o termo com :
Então, e .
Passo 5
Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
Mas isso não parece correto, já que perdemos termos. Vamos refazer a decomposição corretamente.
Na verdade, devemos considerar a forma:
Repetindo o processo:
Organizando os termos:
Agrupando por potências de :
Agora, igualando os coeficientes:
Da última equação, , então .
Da penúltima equação, , então .
Passo 6
Assim, nossa decomposição correta é:
1s^2(s^2 + 1) = 1s^2 - 1s^2 + 1
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo: