Usando a transformada da integral, calcule f(t), sabendo que L(f) é igual a:
1s^4+s^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a função usando a transformada de Laplace. A gente sabe que a transformada de Laplace de é . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a transformada de Laplace inversa e usar frações parciais para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da expressão s^4 + s^2 = s^2(s^2 + 1) . Notamos que podemos fatorar 1s^2(s^2 + 1) da seguinte forma:
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos usar frações parciais para decompor a expressão 1s^2(s^2 + 1) = As + Bs^2 + Cs^2 + 1 . Queremos encontrar constantes 1 = A s (s^2 + 1) + B (s^2 + 1) + C s^2 e tais que:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 4

Para encontrar os valores de 1 = B (0 + 1) Rightarrow B = 1 , 0 = A + C e 0 = A , vamos escolher valores de que simplifiquem a equação:
  • Se :
  • Agora, para encontrar , vamos comparar os coeficientes dos termos com :
O lado esquerdo não tem , então:
  • Ainda faltando , para o termo com :
Então, e .

Passo 5

Com os valores encontrados, nossa decomposição fica:
1s^2(s^2 + 1) = 1s^2 + 1
Mas isso não parece correto, já que perdemos termos. Vamos refazer a decomposição corretamente.
Na verdade, devemos considerar a forma:
1s^2(s^2 + 1) = As + Bs^2 + C s + Ds^2 + 1
Repetindo o processo:
1 = A s (s^2 + 1) + B (s^2 + 1) + (C s + D) s^2
Organizando os termos:
1 = A s^3 + A s + B s^2 + B + C s^3 + D s^2
Agrupando por potências de 1 = (A + C) s^3 + (B + D) s^2 + A s + B :
A + C = 0 B + D = 0 A = 0 B = 1
Agora, igualando os coeficientes:
Da última equação, , então .
Da penúltima equação, , então .

Passo 6

Assim, nossa decomposição correta é:
1s^2(s^2 + 1) = 1s^2 - 1s^2 + 1

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo:
L^-1 ( 1s^2 ) = t
L^-1 ( 1s^2 + 1 ) = sin(t)

Passo 8

Portanto, combinando os resultados:
f(t) = t - sin(t)

Resposta

A função f(t) = t - sin(t) é dada por:

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