Escreva na forma de fração as seguintes dízimas periódicas:
0,555 cdots=510+510^2+510^3+cdots

Passo 1

Então, a gente tem que transformar a dízima periódica 0,5 em uma fração. Isso faz parte do conteúdo de frações e séries infinitas. Vamos precisar entender como as dízimas funcionam e como somar uma série geométrica infinita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma dízima periódica. No caso, 0,555cdots significa que o 5 se repete infinitamente. Isso pode ser escrito como uma soma:
0,555cdots = 510 + 510^2 + 510^3 + cdots

Passo 3

Agora, vamos reconhecer que essa soma é uma série geométrica infinita. Uma série geométrica tem a forma geral:
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + cdots
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum entre os termos.

Passo 4

No nosso caso, o primeiro termo a é 510 e a razão r é 110. A fórmula para a soma S de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
desde que |r| < 1, o que é verdadeiro aqui porque 110 < 1.

Passo 5

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
S = 5101 - 110 = 510910 = 510 times 109 = 59

Resposta

A dízima periódica 0,5 escrita como fração é 59.

Exercícios relacionados