Determine, se existir, a soma da série sumn=1^+infty un, onde un=cl1+2(n-1) & se n<4 (23)^n & se n >= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série sumn=1^+infty un, onde cada termo un é definido de forma diferente dependendo de n. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries numéricas, especificamente séries aritméticas e geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é cada termo da série. Para n < 4, ou seja, quando n = 1, 2, 3, temos:
un = 1 + 2(n - 1)
Isso é uma sequência aritmética, pois cada termo aumenta de forma constante.

Passo 3

Vamos calcular os primeiros três termos dessa sequência aritmética:
  • Para n = 1:
    u1 = 1 + 2(1 - 1) = 1 + 0 = 1
  • Para n = 2:
    u2 = 1 + 2(2 - 1) = 1 + 2 = 3
  • Para n = 3:
    u3 = 1 + 2(3 - 1) = 1 + 4 = 5

Passo 4

Agora, vamos somar esses três termos da sequência aritmética:
Saritmética = u1 + u2 + u3 = 1 + 3 + 5 = 9 é

Passo 5

Para n >= 4, os termos são dados por:
un = (23)^n
Isso é uma sequência geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante 23.

Passo 6

Uma série geométrica infinita sumn=k^+infty (23)^n converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, |23| < 1. Como isso é verdade, a série converge.

Passo 7

A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
onde a é o primeiro termo da série e r é a razão. No nosso caso, para n >= 4, o primeiro termo é a = (23)^4 e r = 23.

Passo 8

Calculando a soma da parte geométrica:
S>=ométrica = (23)^41 - 23 = (1681)13 = 1681 times 3 = 4881 = 1627 é

Passo 9

Agora, somamos as duas partes da série:
Stotal = Saritmética + S>=ométrica = 9 + 1627 éé
Para somar, convertendo 9 para uma fração com denominador 27:
9 = 24327
Então,
Stotal = 24327 + 1627 = 25927

Resposta

A soma da série é 25927.

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