Determine, se existir, a soma da série
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a soma da série
, onde cada termo
é definido de forma diferente dependendo de
. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries numéricas, especificamente séries aritméticas e geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é cada termo da série. Para
, ou seja, quando
, temos:
Isso é uma sequência aritmética, pois cada termo aumenta de forma constante.
Passo 3
Vamos calcular os primeiros três termos dessa sequência aritmética:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 4
Agora, vamos somar esses três termos da sequência aritmética:
Passo 5
Para
, os termos são dados por:
Isso é uma sequência geométrica, pois cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão constante
.
Passo 6
Uma série geométrica infinita
converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
. Como isso é verdade, a série converge.
Passo 7
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
onde
é o primeiro termo da série e
é a razão. No nosso caso, para
, o primeiro termo é
e
.
Passo 8
Calculando a soma da parte geométrica:
Passo 9
Agora, somamos as duas partes da série:
Para somar, convertendo 9 para uma fração com denominador 27:
Então,
Resposta
A soma da série é
.