- (a) Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
(b) Escreva a equação auxiliar.
(c) Como você usaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial? Escreva a forma da solução para cada um dos três casos que podem ocorrer.
- As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
(b) Escreva a equação auxiliar.
(c) Como você usaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial? Escreva a forma da solução para cada um dos três casos que podem ocorrer.
Passo 1
O exercício pede três coisas para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes:
(a) a forma geral da equação,
(b) a equação auxiliar (ou característica),
(c) como usar as raízes dessa equação auxiliar para escrever a solução, considerando os três casos possíveis.
(a) a forma geral da equação,
(b) a equação auxiliar (ou característica),
(c) como usar as raízes dessa equação auxiliar para escrever a solução, considerando os três casos possíveis.
Passo 2
A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
onde
,
e
são constantes e
é o termo não-homogêneo.
Passo 3
Para a parte homogênea (
) supomos uma solução da forma
. Substituindo na equação homogênea, obtemos a equação auxiliar
Passo 4
As raízes da equação auxiliar determinam a forma da solução homogênea. Há três casos:
- Raízes reais e distintas
:
- Raiz real dupla
:
- Raízes complexas conjugadas
:
Resposta
(a)
(b)
(c)
Caso 1 (raízes reais e distintas ):
Caso 2 (raiz dupla ):
Caso 3 (raízes complexas ):
(b)
(c)
Caso 1 (raízes reais e distintas
Caso 2 (raiz dupla
Caso 3 (raízes complexas