1. (a) Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
    (b) Escreva a equação auxiliar.
    (c) Como você usaria as raízes da equação auxiliar para resolver a equação diferencial? Escreva a forma da solução para cada um dos três casos que podem ocorrer.
  2. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com

Passo 1

O exercício pede três coisas para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes:
(a) a forma geral da equação,
(b) a equação auxiliar (ou característica),
(c) como usar as raízes dessa equação auxiliar para escrever a solução, considerando os três casos possíveis.

Passo 2

A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes é
a d^2ydx^2 + b dydx + c,y = f(x),
onde a, b e c são constantes e f(x) é o termo não-homogêneo.

Passo 3

Para a parte homogênea ( f(x)=0) supomos uma solução da forma y=e^r x. Substituindo na equação homogênea, obtemos a equação auxiliar
a r^2 + b r + c = 0

Passo 4

As raízes da equação auxiliar determinam a forma da solução homogênea. Há três casos:
  1. Raízes reais e distintas ,r1neq r2:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
  1. Raiz real dupla ,r1=r2=r:
y(x) = l(C1 + C2 xr)e^r x
  1. Raízes complexas conjugadas ,r = alpha pm ibeta:
y(x) = e^alpha xl(D1cos(beta x) + D2sin(beta x)r)

Resposta

(a) a dfracd^2ydx^2 + b dfracdydx + c,y = f(x)
(b) a r^2 + b r + c = 0
(c)
Caso 1 (raízes reais e distintas r1neq r2):
y = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Caso 2 (raiz dupla r1=r2=r):
y = l(C1 + C2 xr)e^r x
Caso 3 (raízes complexas alphapm ibeta):
y = e^alpha xl(D1cos(beta x) + D2sin(beta x)r)

Exercícios relacionados