1. y^prime prime+y=3 sec t-t^2+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = 3sec t ; - ; t^2 ; + ; 1
Isto é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não‐homogêneo f(t)=3sec t - t^2 +1. Para resolver, fazemos:
1. Encontrar a solução geral da equação homogênea associada.
2. Determinar uma solução particular para o termo -t^2+1 (polinomial) via método de coeficientes indeterminados.
3. Determinar uma solução particular para 3sec t por variação de parâmetros.
4. Somar tudo para obter a solução geral.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y'' + y = 0
A equação característica é lambda^2 +1=0, cujas raízes são lambda=pm i. Logo a solução geral homogênea é
yh(t) = C1cos t + C2sin t,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para o termo polinomial -t^2+1, buscamos yp1(t) do tipo
yp1(t)=At^2 + Bt + C
Calculamos
yp1'' = 2A, yp1'' + yp1 = 2A + (At^2 + Bt + C) = At^2 + Bt + (2A + C)
Igualando a -t^2 + 1 obtemos o sistema
A = -1, B = 0, 2A + C = 1
Daí A=-1 e C=1-2A=1-2(-1)=3. Logo
yp1(t) = -t^2 + 3

Passo 4

Para o termo 3sec t, usamos variação de parâmetros sobre as soluções y1=cos t, y2=sin t. O Wronskiano é W=y1y2'-y1'y2=cos^2t+sin^2t=1.
As fórmulas dão
yp2(t) = -y1(t)integral y2(t),f(t)W(t),dt +y2(t)integral y1(t),f(t)W(t),dt
Aqui f(t)=3sec t. Então
integral y2,f = integral sin tcdot 3sec t,dt =3integral tan t,dt = -3lnl|cos tr|,
integral y1,f = integral cos tcdot 3sec t,dt =3integral 1,dt = 3t
Portanto
yp2(t) =-cos tl(-3ln|cos t|r) +sin t,(3t) =3cos tlnl|cos tr| +3tsin t

Passo 5

A solução particular total é
yp(t)=yp1(t)+yp2(t) =-t^2+3 ;+;3tsin t ;+;3cos tln!l|cos tr|
Somando à homogênea, a solução geral fica
y(t)=C1cos t + C2sin t ;-;t^2+3 ;+;3tsin t ;+;3cos tln!l|cos tr|

Resposta

y(t)=C1cos t + C2sin t -t^2+3 +3tsin t +3cos tln!l|cos tr|

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