Escreva a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes.
[Stewart, J., Volume 2, Sétima edição, Revisão 17 (pg 1043)]

Passo 1

O enunciado pede a forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes. Esse conteúdo faz parte de equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar usar a definição de linearidade e de homogênea para equações de segunda ordem.

Passo 2

Uma equação diferencial é dita linear de segunda ordem se envolve a função incógnita y(x), suas duas primeiras derivadas y’(x) e y’’(x), e combina-as de forma linear (sem produtos ou funções não lineares de y e suas derivadas).

Passo 3

Para ser homogênea, o membro independente deve ser zero, ou seja, não há termo que dependa apenas de x. Além disso, coeficientes constantes significam que os fatores multiplicando y, y’ e y’’ são números fixos, não funções de x.

Passo 4

Reunindo tudo: uma equação diferenciável de segunda ordem, linear, homogênea e com coeficientes constantes tem três constantes reais a, b e c, com a ≠ 0, que multiplicam y’’(x), y’(x) e y(x), respectivamente, e iguala tudo a zero.

Resposta

a,y'' + b,y' + c,y = 0

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