Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO
com condições iniciais
e
usando transformada de Laplace. Vamos usar tabelas de transformadas e propriedades de linearidade para transformar a equação diferencial em uma algébrica e depois inverter.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando
e sabendo que
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais do segundo termo:
Passo 5
Agora invertemos termo a termo usando tabelas de Laplace:
-
-
- Para
, escrevemos e usamos
[L{-1}{\frac{s+1/2}{s2+s+1}}=e^{-x/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr),\quad L{-1}{\frac{7/2}{s2+s+1}}=\frac{7}{\sqrt3}e^{-x/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr).
]
]
Passo 6
Somando todos os termos, chegamos à solução completa
[y(x)=x2-2x+e{-x/2}\Bigl(\cos\tfrac{\sqrt3}{2}x+\frac{7}{\sqrt3}\sin\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr).
] Verificamos que e
conferem, então é solução correta.
] Verificamos que
Resposta
y(x)=x^2 -2x + e^{-x/2}\Bigl(\cos\tfrac{\sqrt3}{2}x + \tfrac{7}{\sqrt3}\sin\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr)