Use a transformada de Laplace para resolver o seguinte problema de valor inicial.
y^prime prime+y^prime+y=x^2, y^prime(0)=y(0)=1

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO y'' + y' + y = x^2 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 usando transformada de Laplace. Vamos usar tabelas de transformadas e propriedades de linearidade para transformar a equação diferencial em uma algébrica e depois inverter.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando Ly'' + Ly' + Ly = Lx^2, e sabendo que
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), Ly'=sY(s)-y(0), Ly=Y(s), Lx^2=2s^3, substituímos y(0)=1 e y'(0)=1 para obter
(s^2Y(s)-s-1)+(sY(s)-1)+Y(s)=2s^3 implies (s^2+s+1)Y(s)-(s+2)=2s^3

Passo 3

Isolamos Y(s):
(s^2+s+1)Y(s)=2s^3+s+2, Y(s)=s+2s^2+s+1+2s^3(s^2+s+1)

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais do segundo termo:
2s^3(s^2+s+1)=As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+s+1 Encontramos os coeficientes A=0, B=-2, C=2, D=0, E=2. Logo
Y(s)=-2s^2+2s^3+s+4s^2+s+1

Passo 5

Agora invertemos termo a termo usando tabelas de Laplace:
  • L^-1 -2/s^2=-2x
  • L^-12/s^3=x^2
  • Para (s+4)/(s^2+s+1), escrevemos s+4=(s+1/2)+7/2 e usamos
[L{-1}{\frac{s+1/2}{s2+s+1}}=e^{-x/2}\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr),\quad L{-1}{\frac{7/2}{s2+s+1}}=\frac{7}{\sqrt3}e^{-x/2}\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr).
]

Passo 6

Somando todos os termos, chegamos à solução completa
[y(x)=x2-2x+e{-x/2}\Bigl(\cos\tfrac{\sqrt3}{2}x+\frac{7}{\sqrt3}\sin\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr).
] Verificamos que y(0)=1 e y'(0)=1 conferem, então é solução correta.

Resposta

y(x)=x^2 -2x + e^{-x/2}\Bigl(\cos\tfrac{\sqrt3}{2}x + \tfrac{7}{\sqrt3}\sin\tfrac{\sqrt3}{2}x\Bigr)

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