Uma série de potências centrada em ,x_0) tem a forma
onde os são coeficientes reais (ou complexos) e é o ponto de expansão (centro) da série. Cada termo é dado por .
Passo 3
O raio de convergência de uma série de potências é o valor não negativo tal que a série converge para todos os que satisfazem
e diverge para
A gente geralmente calcula usando o critério da razão de d’Alembert:
ou pelo critério de Cauchy–Hadamard:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|
Passo 4
O intervalo de convergência é o conjunto de todos os x reais para os quais a série converge. Em termos práticos, funciona assim:
x in (x0 - R,; x0 + R)
e aí a gente testa separadamente os pontos finais x = x0 pm R, já que a convergência nesses limites não é garantida pelo raio e depende do comportamento dos coeficientes.
Resposta
(a) sumn=0^infty an,(x - x0)^n
(b) É o número R>=0 tal que a série converge se |x - x0| e diverge se |x - x0|>R, obtido por exemplo por