(a) Escreva a forma geral de uma série de potências.
(b) O que é o raio de convergência de uma série de potências?
© O que é o intervalo de convergência de uma série de potências?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre séries de potências: (a) a forma geral, (b) o que é o raio de convergência e © o intervalo de convergência. O conteúdo é sobre séries infinitas em que cada termo é uma potência de ,(x - x_0), e vamos precisar usar definição de somatório, noções de convergência e os critérios de Cauchy–Hadamard ou de razão.

Passo 2

Uma série de potências centrada em ,x_0) tem a forma
sumn=0^infty an,(x - x0)^n
onde os an são coeficientes reais (ou complexos) e x0 é o ponto de expansão (centro) da série. Cada termo é dado por an (x - x0)^n.

Passo 3

O raio de convergência R de uma série de potências é o valor não negativo tal que a série converge para todos os x que satisfazem
|x - x0| < R
e diverge para
|x - x0| > R
A gente geralmente calcula R usando o critério da razão de d’Alembert:
R = limn to infty |anan+1|,
ou pelo critério de Cauchy–Hadamard:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|

Passo 4

O intervalo de convergência é o conjunto de todos os x reais para os quais a série converge. Em termos práticos, funciona assim:
x in (x0 - R,; x0 + R)
e aí a gente testa separadamente os pontos finais x = x0 pm R, já que a convergência nesses limites não é garantida pelo raio e depende do comportamento dos coeficientes.

Resposta

(a) sumn=0^infty an,(x - x0)^n
(b) É o número R>=0 tal que a série converge se |x - x0| e diverge se |x - x0|>R, obtido por exemplo por
R=limntoinfty|anan+1|ou1R=limsupntoinftyraiz[n]|an|
© É o conjunto de valores de x para os quais a série converge, isto é
(x0-R,,x0+R)
e, possivelmente, incluindo um ou ambos os pontos finais após teste de convergência nesses limites.

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