Resolva o seguinte sistema de equações.
ld xd t=-x^2 d yd t=-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs ordinárias
dxdt = -x^2 dydt = -y
O conteúdo principal aqui é separação de variáveis, pois cada equação envolve apenas uma das incógnitas. Vamos usar essa técnica para achar as soluções de x(t) e y(t).

Passo 2

Para resolver
dxdt = -x^2
separamos variáveis escrevendo
dxx^2 = -dt
Agora integramos ambos os lados. De um lado temos
integral x^-2,dx = -x^-1 + C1'
e do outro
integral -1,dt = -t + C1''
Igualando as duas constantes (podemos absorvê-las numa só), obtemos
-1x = -t + C1
que leva a
1x = t - C1 = t + Cx
Logo
x(t) = 1t + Cx

Passo 3

Para resolver
dydt = -y
seguimos o mesmo raciocínio de separação:
dyy = -dt
Integramos:
integral dyy = ln|y| + C2' e integral -1,dt = -t + C2''
Juntando as constantes num só C_y, fica
ln|y| = -t + Cy
e, exponenciando,
y(t) = e^Cye^-t = Cy',e^-t

Passo 4

As soluções acima são independentes e cada uma tem sua constante de integração. Resumindo, a solução geral do sistema é dada por:

Resposta

x(t)=\frac{1}{t+C_x},\quad y(t)=C_y,e^{-t}

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