Resolva o seguinte sistema de equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs ordinárias
O conteúdo principal aqui é separação de variáveis, pois cada equação envolve apenas uma das incógnitas. Vamos usar essa técnica para achar as soluções de x(t) e y(t).
Passo 2
Para resolver
separamos variáveis escrevendo
Agora integramos ambos os lados. De um lado temos
e do outro
Igualando as duas constantes (podemos absorvê-las numa só), obtemos
que leva a
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Passo 3
Para resolver
seguimos o mesmo raciocínio de separação:
Integramos:
Juntando as constantes num só C_y, fica
e, exponenciando,
Passo 4
As soluções acima são independentes e cada uma tem sua constante de integração. Resumindo, a solução geral do sistema é dada por:
Resposta
x(t)=\frac{1}{t+C_x},\quad y(t)=C_y,e^{-t}