Escreva na forma polar:
z_{1} z_{2}, \frac{z_{1}}{z_{2}} onde z_{1}=\sqrt{3}+3 i e z_{2}=\frac{3-i \sqrt{3}}{2}

Passo 1

Temos dois números complexos em forma retangular: z_{1}=\sqrt{3}+3i e
z_{2}=\frac{3 - i\sqrt{3}}{2}.
A tarefa é escrever z_{1}\cdot z_{2} e \frac{z_{1}}{z_{2}} em forma polar.
Para isso, primeiro vamos converter cada um deles à forma polar r(\cos\theta + i\sin\theta) usando
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta = \arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr),
e depois aplicaremos as propriedades
\bigl[r_{1}e^{i\theta_{1}}\bigr]\cdot\bigl[r_{2}e^{i\theta_{2}}\bigr] = (r_{1}r_{2})\,e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})},
\frac{r_{1}e^{i\theta_{1}}}{r_{2}e^{i\theta_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}\,e^{i(\theta_{1}-\theta_{2})}.

Passo 2

Converter z_{1} e z_{2} para a forma polar:
O módulo de z_{1} é
r_{1} = \sqrt{(\sqrt{3})^{2} + 3^{2}} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3},
e o argumento
\theta_{1} = \arctan\!\Bigl(\frac{3}{\sqrt{3}}\Bigr) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
Logo
z_{1} = 2\sqrt{3}\,\bigl(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\sqrt{3}\,e^{i\pi/3}.
O módulo de z_{2} é
r_{2} = \sqrt{\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}} = \sqrt{\tfrac{9}{4} + \tfrac{3}{4}} = \sqrt{3},
e o argumento
\theta_{2} = \arctan\!\Bigl(\frac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{\tfrac{3}{2}}\Bigr) = \arctan\!\Bigl(-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\Bigr) = -\frac{\pi}{6}.
Logo
z_{2} = \sqrt{3}\,\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{6}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{6})\bigr) = \sqrt{3}\,e^{-i\pi/6}.

Passo 3

Calcular o produto em forma polar:
z_{1}\cdot z_{2} = \bigl(2\sqrt{3}\,e^{i\pi/3}\bigr)\cdot\bigl(\sqrt{3}\,e^{-i\pi/6}\bigr) = (2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})\,e^{i(\pi/3 - \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/6}.

Passo 4

Calcular o quociente em forma polar:
\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{2\sqrt{3}\,e^{i\pi/3}}{\sqrt{3}\,e^{-i\pi/6}} = \Bigl(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\Bigr)\,e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = 2\,e^{i\pi/2}.

Resposta

z_{1}\cdot z_{2} = 6\,e^{i\pi/6} \displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}} = 2\,e^{i\pi/2}

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