Escreva na forma polar:
z=2 \sqrt{2}+2 \sqrt{2} i

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\,i em coordenadas retangulares e pede para escrever na forma polar. Vamos precisar calcular o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

Calculamos o módulo r usando
r = |z| = \sqrt{\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^2 + \bigl(2\sqrt{2}\bigr)^2}
r = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4.

Passo 3

Calculamos o argumento \theta pela razão entre a parte imaginária e a parte real:
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{\Im(z)}{\Re(z)}\biggr) = \arctan\!\biggl(\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\biggr) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}.
Como \Re(z)>0 e \Im(z)>0, estamos no primeiro quadrante, de modo que \theta = \tfrac{\pi}{4} está correto.

Passo 4

Substituímos r e \theta na forma polar padrão
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = 4\Bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\sin\tfrac{\pi}{4}\Bigr).

Resposta

z = 4\Bigl(\cos\tfrac{\pi}{4} + i\sin\tfrac{\pi}{4}\Bigr) \quad\text{(forma polar)}
Opcionalmente, na forma exponencial:
z = 4\,e^{i\pi/4}.

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