Escreva na forma polar:
z_{1} z_{2}, \frac{\stackrel{z}{z}{2}}{z{\sim}} onde z_{1}=1-i e z_{2}=-1+i \sqrt{3}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma polar o produto z_{1}z_{2} e o quociente \frac{z_{2}}{z_{1}}, onde
z_{1}=1 - i
z_{2}=-1 + i\sqrt{3}
O conteúdo aqui é representação de números complexos em forma polar, usando módulo e argumento, e as propriedades:
|z_1 z_2| = |z_1|\;|z_2|,\quad \arg(z_1 z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)
\left|\frac{z_2}{z_1}\right| = \frac{|z_2|}{|z_1|},\quad \arg\!\bigl(\tfrac{z_2}{z_1}\bigr)=\arg(z_2)-\arg(z_1)

Passo 2

Calculamos primeiro o módulo e o argumento de z_{1}=1-i.
O módulo é
|z_{1}|=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{2}.
O argumento \theta_{1} satisfaz
\tan(\theta_{1})=\frac{-1}{1}=-1,
e como 1-i está no quarto quadrante, \theta_{1}=-\tfrac{\pi}{4}.
Logo
z_{1}=\sqrt{2}\,\cis\!\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr).

Passo 3

Agora z_{2}=-1+i\sqrt{3}.
O módulo é
|z_{2}|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2.
O argumento \theta_{2} satisfaz
\tan(\theta_{2})=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3},
e como z_{2} está no segundo quadrante, \theta_{2}=\pi-\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}.
Portanto
z_{2}=2\,\cis\!\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr).

Passo 4

Para o produto z_{1}z_{2} usamos
|z_{1}z_{2}|=|z_{1}|\;|z_{2}|=\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2},
\arg(z_{1}z_{2})=\arg(z_{1})+\arg(z_{2}) =-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{2\pi}{3} =\frac{-3\pi+8\pi}{12} =\tfrac{5\pi}{12}.
Logo
z_{1}z_{2} =2\sqrt{2}\,\cis\!\bigl(\tfrac{5\pi}{12}\bigr).

Passo 5

Para o quociente \displaystyle \frac{z_{2}}{z_{1}} usamos
\left|\frac{z_{2}}{z_{1}}\right| =\frac{|z_{2}|}{|z_{1}|} =\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
\arg\!\bigl(\tfrac{z_{2}}{z_{1}}\bigr) =\arg(z_{2})-\arg(z_{1}) =\tfrac{2\pi}{3}-\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) =\frac{8\pi+3\pi}{12} =\tfrac{11\pi}{12}.
Logo
\frac{z_{2}}{z_{1}} =\sqrt{2}\,\cis\!\bigl(\tfrac{11\pi}{12}\bigr).

Resposta

z_{1}z_{2}=2\sqrt{2}\,\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{12}\bigr)+i\,\sin\!\bigl(\tfrac{5\pi}{12}\bigr)\]\n \(\displaystyle \frac{z_{2}}{z_{1}}=\sqrt{2}\,\bigl[\cos\!\bigl(\tfrac{11\pi}{12}\bigr)+i\,\sin\!\bigl(\tfrac{11\pi}{12}\bigr)\])

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