Mostre que, se z_{2} \neq z_{3}, então \left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|\right|} . Passo 1O enunciado pede para mostrar que, dados três números complexos z_{1},z_{2},z_{3} com z_{2}\neq z_{3}, vale a desigualdade \left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr|}. O conteúdo principal é a desigualdade triangular para números complexos e a sua forma “invertida”. Passo 2Lembramos a desigualdade triangular: para quaisquer a,b\in\mathbb{C} |a+b|\le|a|+|b|, e a forma obtida trocando sinais, isto é, para quaisquer a,b |a|-|b|\le|a-b|. Passo 3Aplicamos essa forma ao par \bigl(a,z_{3}\bigr) com a=z_{2}+z_{3}. Primeiro, escrevemos |z_{2}| = |(z_{2}+z_{3}) - z_{3}|\le |z_{2}+z_{3}| + |z_{3}|, logo |z_{2}| - |z_{3}|\le |z_{2}+z_{3}|. Trocando z_{2} por z_{3} na mesma ideia, obtemos |z_{3}| - |z_{2}|\le |z_{2}+z_{3}|. Combinando as duas, conclui-se |z_{2}+z_{3}|\ge \bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|. Passo 4Como z_{2}\neq z_{3}, temos \bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr|\neq0 e também |z_{2}+z_{3}|\neq0. Dividindo a desigualdade do passo anterior por |z_{2}+z_{3}| |z_{2}+z_{3}|\ge \bigl||z_{2}|-|z_{3}|\bigr| e isolando \tfrac1{|z_{2}+z_{3}|}, vem \frac1{|z_{2}+z_{3}|}\le \frac1{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}. Multiplicando ambos os lados por |z_{1}| (que é não negativo) dá exatamente \left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| = \frac{|z_{1}|}{|z_{2}+z_{3}|}\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}. Resposta \boxed{\left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right|\le \frac{|z_{1}|}{\bigl||z_{2}| - |z_{3}|\bigr|}.} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosEscreva na forma polar: z_{1} z_{2}, \frac{\stackrel{z}{z}{2}}{z{\sim}} onde z_{1}=1-i e z_{2}=-1+i \sqrt{3} Escreva na forma polar: z_{1} z_{2}, \frac{\stackrel{z}{z}{2}}{z{\sim}} onde z_{1}=1-i e z_{2}=-1+i \sqrt{3} Mostre que, se z_{2} \neq z_{3}, então \left|\frac{z_{1}}{z_{2}+z_{3}}\right| \leq \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|\left|z_{2}\right|-\left|z_{3}\right|\right|} . Resolva as equações: z+i \bar{z}=2+i;