Escreva na forma reduzida o polinômio (200 x^5+60 x^4-140 x^2-280 x^3):(20 x^2)-(8 x^3+3 x^2) e dê seu valor numérico para x=-1.

Passo 1

O exercício pede para simplificar o polinômio que aparece na forma
(200 x^{5}+60 x^{4}-140 x^{2}-280 x^{3}) dividido por (20 x^{2}) e depois subtrair (8 x^{3}+3 x^{2}). O conteúdo aqui é divisão de polinômios (monômios) e subtração de polinômios, e vamos usar a lei dos expoentes x^ax^b=x^a-b para dividir termo a termo.

Passo 2

Para dividir cada termo do polinômio original por 20x^2, aplicamos a lei dos expoentes e simplificamos coeficientes. Fazendo cada divisão:

Passo 3

200x^520x^2 = 10x^3
60x^420x^2 = 3x^2
-280x^320x^2 = -14x
-140x^220x^2 = -7

Passo 4

Juntando esses resultados, o polinômio depois da divisão fica:

Passo 5

10x^3 + 3x^2 - 14x - 7

Passo 6

Agora subtraímos o polinômio 8x^3 + 3x^2. Primeiro abrimos o parêntese invertendo sinais e depois combinamos termos semelhantes:

Passo 7

10x^3 + 3x^2 - 14x - 7 - (8x^3 + 3x^2)
= 10x^3 + 3x^2 - 14x - 7 - 8x^3 - 3x^2

Passo 8

Combinando termos semelhantes:
10x^3 - 8x^3 = 2x^3,
3x^2 - 3x^2 = 0
Os termos em x e constantes ficam iguais:
-14x e -7

Passo 9

Logo, o polinômio reduzido é:

Passo 10

2x^3 - 14x - 7

Passo 11

Para encontrar o valor numérico em x = -1, substituímos no polinômio reduzido e lembramos que (-1)^3 = -1:

Passo 12

2(-1)^3 - 14(-1) - 7 = 2cdot(-1) + 14 - 7 = -2 + 14 - 7 = 5

Resposta

O polinômio reduzido é 2x^3 - 14x - 7 e, para x = -1, o valor numérico é 5.

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