Escreva na forma trigonométrica o número:
z=\frac{5+5 i}{2-2 i}

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva na forma trigonométrica o número complexo
z=\frac{5+5 i}{2-2 i}.
Informações dadas: o numerador é \,5+5i, e o denominador é \,2-2i. A tarefa é transformar essa fração em uma forma
r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big),
onde r é o módulo de z e \theta é o argumento (ângulo) de z. Não vou resolver ainda; só listei o que o problema dá e o que pede.

Passo 2

Primeiro simplifico a fração fatorando constantes no numerador e no denominador. Note que posso escrever
5+5i=5(1+i)
e
2-2i=2(1-i).
Portanto
z=\frac{5+5i}{2-2i}=\frac{5(1+i)}{2(1-i)}=\frac{5}{2}\cdot\frac{1+i}{1-i}.
Aqui eu usei a propriedade de frações que permite separar constantes.

Passo 3

Para dividir complexos sem usar calculadora é prático eliminar i do denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de (1-i) é (1+i). Multiplico então por \dfrac{1+i}{1+i} (que vale 1) para não alterar o valor:
\frac{1+i}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}.
Explico: o conjugado de a+bi é a-bi e multiplicar por ele transforma o produto em a^2+b^2 (número real), porque (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.

Passo 4

Calculo o numerador e o denominador do quociente obtido:
(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i,
e
(1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2.
Substituindo:
\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i.
Ou seja, essa razão simplifica exatamente para i.

Passo 5

Voltando à expressão de z,
z=\frac{5}{2}\cdot\frac{1+i}{1-i}=\frac{5}{2}\cdot i=\frac{5}{2}i.
Posso também escrever na forma a+bi com a=0 e b=\dfrac{5}{2}, isto é
z=0+\frac{5}{2}i.

Passo 6

Agora calculo o módulo r de z. A fórmula do módulo para z=a+bi é
r=|z|=\sqrt{a^2+b^2},
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui a=0 e b=\dfrac{5}{2}, então
r=\sqrt{0^2+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}.
Portanto o módulo é \dfrac{5}{2}.

Passo 7

Agora determino o argumento \theta de z. Em geral, se a\neq0 usamos \theta=\operatorname{atan2}(b,a) ou \theta=\arctan\!\left(\dfrac{b}{a}\right) com atenção ao quadrante. No nosso caso a=0 e b=\dfrac{5}{2}>0, o que significa que o ponto está sobre o eixo imaginário positivo. Assim o argumento principal é
\theta=\frac{\pi}{2}.
Explicando: pontos com parte real zero e parte imaginária positiva têm ângulo de 90^\circ, isto é \pi/2 radianos.

Passo 8

Por fim escrevo z na forma trigonométrica r(\cos\theta+i\sin\theta) com os valores encontrados:
r=\frac{5}{2},\qquad \theta=\frac{\pi}{2}.
Logo
z=\frac{5}{2}\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big).

Resposta

\frac{5}{2}\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big)

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