Escreva na forma trigonométrica os números:
1+ii

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de escrever o número complexo 1+ii na forma trigonométrica. A matéria envolvida aqui é a representação de números complexos em forma trigonométrica, que utiliza o módulo e o argumento do número. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão e encontrar tanto o módulo quanto o argumento do número resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão 1+ii. Para isso, podemos multiplicar o numerador e o denominador por i para eliminar o i do denominador:
1+ii times ii = (1+i)ii^2
Sabemos que i^2 = -1, então substituímos:
(1+i)i-1 = -i(1+i) = -i - i^2
Como i^2 = -1, substituímos novamente:
-i - (-1) = -i + 1 = 1 - i
Portanto, 1+ii = 1 - i.

Passo 3

Agora, temos o número complexo 1 - i. Para escrever esse número na forma trigonométrica, precisamos encontrar o módulo r e o argumento theta.
O módulo r é dado por:
r = raiza^2 + b^2
Onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Aqui, a = 1 e b = -1.
Calculando:
r = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o argumento theta, que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo. O argumento é dado por:
theta = arctan(ba)
Substituindo a = 1 e b = -1:
theta = arctan(-11) = arctan(-1)
Sabemos que arctan(-1) = -pi4 radianos. Como o número está no quarto quadrante (parte real positiva e parte imaginária negativa), o ângulo é -pi4 radianos.

Passo 5

Agora que temos r = raiz2 e theta = -pi4, podemos escrever a forma trigonométrica do número complexo:
r ( costheta + isintheta ) = raiz2 ( cos( -pi4 ) + isin( -pi4 ) )

Resposta

A forma trigonométrica de 1+ii é:
raiz2 ( cos( -pi4 ) + isin( -pi4 ) )

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