Calcule a integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre a região $ R = [0,2] \times [0,3] $. A função que vamos integrar é $ y e^{-\pi} $. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral dupla, como configurar os limites de integração para a região dada e então realizar a integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral dupla. Quando temos uma integral dupla como $ \iint_{R} f(x,y) , dA $, queremos somar os valores da função $ f(x,y) $ em todos os pontos da região $ R $. No nosso caso, $ f(x,y) = y e^{-\pi} $.
Passo 3
A região $ R = [0,2] \times [0,3] $ significa que $ x $ varia de 0 a 2 e $ y $ varia de 0 a 3. Então, nossos limites de integração serão:
Passo 4
Vamos configurar a integral dupla com esses limites. Podemos escrever a integral como uma iterada, ou seja, uma integral dentro de outra:
Passo 5
Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
Aqui, $ e^{-\pi} $ é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{3} y , dy $. A antiderivada de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{2} y^2 $. Assim:
Passo 7
Voltando à integral interna:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Como $ \frac{9}{2} e^{-\pi} $ é constante em relação a $ x $, podemos tirá-la da integral:
Passo 9
Calculando a integral $ \int_{0}^{2} , dx $:
Passo 10
Finalmente, multiplicamos os resultados:
Resposta
O valor da integral dupla é $ 9 e^{-\pi} $.