Calcule a integral dupla.
integral duplapi y e^-pi d A, R=[0,2] times[0,3]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla sobre a região $ R = [0,2] \times [0,3] $. A função que vamos integrar é $ y e^{-\pi} $. Para resolver isso, precisamos entender o que é uma integral dupla, como configurar os limites de integração para a região dada e então realizar a integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla. Quando temos uma integral dupla como $ \iint_{R} f(x,y) , dA $, queremos somar os valores da função $ f(x,y) $ em todos os pontos da região $ R $. No nosso caso, $ f(x,y) = y e^{-\pi} $.

Passo 3

A região $ R = [0,2] \times [0,3] $ significa que $ x $ varia de 0 a 2 e $ y $ varia de 0 a 3. Então, nossos limites de integração serão:
R = [0,2] times [0,3]

Passo 4

Vamos configurar a integral dupla com esses limites. Podemos escrever a integral como uma iterada, ou seja, uma integral dentro de outra:
integral0^2 ( integral0^3 y e^-pi , dy ) dx

Passo 5

Primeiro, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $:
y
Aqui, $ e^{-\pi} $ é uma constante, então podemos tirá-la da integral:
integral0^3 y e^-pi , dy

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral $ \int_{0}^{3} y , dy $. A antiderivada de $ y $ em relação a $ y $ é $ \frac{1}{2} y^2 $. Assim:
integral0^3 y , dy

Passo 7

Voltando à integral interna:
e^-pi times 92 = 92 e^-pi

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 92 e^-pi , dx
Como $ \frac{9}{2} e^{-\pi} $ é constante em relação a $ x $, podemos tirá-la da integral:
92 e^-pi

Passo 9

Calculando a integral $ \int_{0}^{2} , dx $:
integral0^2 , dx

Passo 10

Finalmente, multiplicamos os resultados:
92 e^-pi times 2 = 9 e^-pi

Resposta

O valor da integral dupla é $ 9 e^{-\pi} $.

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