Escreva na forma trigonométrica e represente geometricamente os seguintes números complexos:
(-1+i)^7;

Passo 1

O enunciado pede para escrever (-1+i)^7 na forma trigonométrica e representar geometricamente. O conteúdo principal envolve números complexos em forma polar (módulo e argumento) e o Teorema de De Moivre para elevar ao expoente.

Passo 2

Primeiro, calculamos o módulo r e o argumento theta do número base -1+i. Pelo módulo temos r=| -1+i|=raiz(-1)^2+1^2=raiz2. Para o argumento, observamos que o ponto (-1,1) está no 2º quadrante, e tantheta=1-1=-1, então theta=3pi4.
Escrevemos então -1+i em forma trigonométrica:
-1+i=raiz2l(costfrac3pi4+isintfrac3pi4r)

Passo 3

Aplicamos o Teorema de De Moivre para elevar ao 7:
(-1+i)^7=l(raiz2r)^7l(cosl(7cdottfrac3pi4r)+isinl(7cdottfrac3pi4r)r)
Calculamos (raiz2)^7=8raiz2 e simplificamos o ângulo 7cdottfrac3pi4=tfrac21pi4. Reduzindo ao intervalo [0,2pi):
tfrac21pi4-2cdot2pi=tfrac21pi-16pi4=tfrac5pi4

Passo 4

Logo, a forma trigonométrica final é:
8raiz2l(costfrac5pi4+isintfrac5pi4r)
Para confirmar em forma retangular, usamos costfrac5pi4=sintfrac5pi4=-tfracraiz22, obtendo -8-8i.

Passo 5

Geometricamente, o número fica representado pelo ponto (-8,-8) no plano complexo, ou pelo vetor de módulo 8raiz2 formando 225^circ ( 5pi/4 rad) com o eixo real positivo.

Resposta

8raiz2(costfrac5pi4+isintfrac5pi4)

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