Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes para resolver isso. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
A equação característica é:
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 2 $, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = 2 $:
Então, as raízes são complexas: $ r = -1 + i $ e $ r = -1 - i $.
Passo 4
Quando temos raízes complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, $ \alpha = -1 $ e $ \beta = 1 $, então a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
Sabemos que $ y(0) = 2 $, então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar $ y’(t) $ para usar a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $.
Primeiro, derivamos $ y(t) $:
Aplicamos a regra do produto:
Agora, calculamos $ y’(0) $:
Sabemos que $ y’(0) = 1 $, então:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: