Resolva o PVI:
y^prime prime+2 cdot y^prime+2 cdot y=0, y(0)=2 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
y'' + 2y' + 2y = 0, y(0) = 2; y'(0) = 1
Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais homogêneas de coeficientes constantes para resolver isso. Precisaremos encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação do tipo:
y'' + a y' + b y = 0
A equação característica é:
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, $ a = 2 $ e $ b = 2 $, então a equação característica fica:
a = 2

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ r^2 + 2r + 2 = 0 $ para encontrar as raízes $ r $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
r^2 + 2r + 2 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $ e $ c = 2 $:
r
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = 2
c = 2
Então, as raízes são complexas: $ r = -1 + i $ e $ r = -1 - i $.

Passo 4

Quando temos raízes complexas da forma $ \alpha \pm \beta i $, a solução geral da equação diferencial é:
alpha pm beta i
No nosso caso, $ \alpha = -1 $ e $ \beta = 1 $, então a solução geral fica:
y(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, vamos calcular $ y(0) $:
C1
C2
y(0)
Sabemos que $ y(0) = 2 $, então:
y(0) = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) )

Passo 6

Agora, vamos encontrar $ y’(t) $ para usar a segunda condição inicial $ y’(0) = 1 $.
Primeiro, derivamos $ y(t) $:
y'(t)
Aplicamos a regra do produto:
y'(0) = 1
y(t)
y(t) = e^-t ( 2 cos(t) + C2 sin(t) )
Agora, calculamos $ y’(0) $:
y'(t) = -e^-t ( 2 cos(t) + C2 sin(t) ) + e^-t ( -2 sin(t) + C2 cos(t) )
y'(t) = e^-t ( -2 cos(t) - C2 sin(t) - 2 sin(t) + C2 cos(t) )
y'(t) = e^-t ( (-2 + C2) cos(t) + (-C2 - 2) sin(t) )
Sabemos que $ y’(0) = 1 $, então:
y'(0)
y'(0) = e^0 ( (-2 + C2) cos(0) + (-C2 - 2) sin(0) )

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = e^-t ( 2 cos(t) + 3 sin(t) )

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