Obtenha as formas algébrica (z=a+b i), trigonométrica (z=r(cos (theta)+i sen(theta))) e exponencial dos seguintes números
1-3 i3-i;

Passo 1

Nesta questão vamos encontrar as três formas (algébrica, trigonométrica e exponencial) do número complexo z = 1-3i3-i. Para isso, precisamos simplificar a fração de complexos, depois calcular módulo e argumento.

Passo 2

Para obter a forma algébrica, racionalizamos 1-3i3-i multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 3-i, que é 3+i. Calculando: (1) numerador: (1-3i)(3+i)=3 + i -9i -3i^2=6-8i; (2) denominador: (3-i)(3+i)=9+1=10. Logo z=6-8i10=35-45i.

Passo 3

Agora calculamos módulo e argumento do resultado a=tfrac35,,b=-tfrac45. O módulo é r=raiza^2+b^2=raiz(tfrac35)^2+( -tfrac45)^2=1. O argumento é
theta=arctanl(tfracbar)=arctanl(-tfrac4/53/5r)=arctan(-tfrac43)
Como a>0, fica theta=-arctan(tfrac43).

Passo 4

Para a forma trigonométrica, usamos z=r(costheta + isintheta). Como r=1 e theta=-arctan(tfrac43), temos
z=1l(cos(-arctan(tfrac43)) + isin(-arctan(tfrac43))r)

Passo 5

Finalmente, para a forma exponencial, escrevemos z=re^itheta. Com r=1 e theta=-arctan(tfrac43),
z=e^i(-arctan(tfrac43))=e^-,iarctan(tfrac43)

Resposta

Forma algébrica:
z = 35 - 45i
Forma trigonométrica:
z = cosl(-arctan(tfrac43)r) + isinl(-arctan(tfrac43)r)
Forma exponencial:
z = e^-,iarctan(tfrac43)

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