Obtenha as formas algébrica (z=a+b i), trigonométrica (z=r(cos (theta)+i sen(theta))) e exponencial dos seguintes números
(12+raiz32 i)^2.

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a potência (tfrac12+tfracraiz32,i)^2 e, a partir dela, apresentar: a forma algébrica a+bi, a forma trigonométrica r(costheta+isintheta) e a forma exponencial.

Passo 2

Primeiro reconhecemos o número z0=tfrac12+tfracraiz32,i em coordenadas polares. O módulo é
r0=|z0|=raizl(tfrac12r)^2+l(tfracraiz32r)^2=1
E o argumento é
theta0=arctan!l(tfracraiz3/21/2r)=arctan(raiz3)=tfracpi3
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z0=1l(costfracpi3+isintfracpi3r) .

Passo 3

Para elevar ao quadrado usamos o Teorema de De Moivre: se z0=r0(costheta0+isintheta0), então
z0^2=r0^2l(cos(2theta0)+isin(2theta0)r)
Como r0=1 e theta0=pi/3, temos
z0^2=1^2l(costfrac2pi3+isintfrac2pi3r)=costfrac2pi3+isintfrac2pi3

Passo 4

Agora convertemos para a forma algébrica usando os valores das funções trigonométricas:
costfrac2pi3=-tfrac12, sintfrac2pi3=tfracraiz32
Logo
z0^2=-tfrac12+tfracraiz32,i

Passo 5

Por fim, a forma exponencial é imediata a partir de r=1 e theta=2pi/3:
z0^2=e^i2pi/3

Resposta

Forma algébrica: -tfrac12+tfracraiz32,i
Forma trigonométrica: 1l(costfrac2pi3+isintfrac2pi3r)
Forma exponencial: e^i2pi/3

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