Seja X \sim U[-1,1].
a. Calcule \mathbb{E}(X).
b. Calcule \operatorname{var}(X).
c. Encontre x tal que \mathbb{P}(-x \leq X \leq x)=0,90.

Passo 1

O enunciado diz que X segue a distribuição uniforme contínua em [-1,1] e pede:
a) \mathbb{E}(X), b) \operatorname{Var}(X), c) o valor de x tal que \mathbb{P}(-x \le X \le x)=0,90.
Vamos usar as fórmulas gerais para a uniforme em [a,b]:
\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}, \operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12} e probabilidades proporcionais ao comprimento do intervalo.

Passo 2

Para a esperança, aplicamos
\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}
com a=-1 e b=1. Logo,
\mathbb{E}(X)=\frac{-1+1}{2}=0.

Passo 3

Para a variância, usamos
\operatorname{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12}
com a=-1, b=1. Então
\operatorname{Var}(X)=\frac{(1-(-1))^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Queremos x\ge0 tal que
\mathbb{P}(-x \le X \le x)=0,90.
Como X é uniforme em [-1,1], a probabilidade desse evento é a razão entre o comprimento do intervalo [-x,x], que é 2x, e o comprimento total 2. Assim,
\mathbb{P}(-x \le X \le x)=\frac{2x}{2}=x.
Impondo x=0,90, concluímos
x=0,90.

Resposta

(a) \mathbb{E}(X)=0
(b) \operatorname{Var}(X)=\tfrac{1}{3}
(c) x=0,90

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