Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que
é contínua por pedaços em
e
é função 2 -periódica e contínua por pedaçõs em
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva as fórmulas dos coeficientes de Fourier e a expressão da série de Fourier para uma função
que satisfaz:
-
é contínua por pedaços em . -
é -periódica e, em particular, contínua por pedaços no intervalo .
As perguntas implícitas são: quais são as fórmulas de
,
,
(os coeficientes da forma trigonométrica) e qual é a expressão da série trigonométrica de Fourier no caso de período
. (Mais adiante eu também dou a forma complexa, que é útil às vezes.)
Passo 2
Primeiro eu explico a ideia básica e as notações que vou usar. Como a função é
-periódica, o período é
. É comum definir
. A frequência angular fundamental é
A série de Fourier usa as funções
e
como base. A série trigonométrica terá a forma
Nas próximas etapas eu mostro por que os coeficientes têm as fórmulas que se costuma ver.
Passo 3
Vou apresentar e justificar as relações de ortogonalidade que tornam possível isolar cada coeficiente. Essas integrais são calculadas no intervalo [[-1,1]).
Usamos a identidade produto-para-soma para duas cossenos:
Com isso, para inteiros
,
Cada integral de
com
sobre
é zero porque
é função com média zero no período inteiro considerado (pode-se ver integrando explicitamente ou usando simetria). Assim, para
ambas as parcelas são zero e
Para
usamos
e obtemos
Portanto
De modo análogo obtém-se
e a ortogonalidade cruzada
Essas relações são a razão pela qual dá para “projetar” (f] sobre cada modo e obter fórmulas explícitas para os coeficientes.]
Passo 4
Agora uso a ideia de projeção para obter as fórmulas. Suponha que
tenha a série (formalmente)
Multiplico ambos os lados por
com
e integro em
. Pela linearidade e pelas relações de ortogonalidade, todos os termos da soma desaparecem exceto aquele com
, e o lado esquerdo fica
. Assim obtemos
Logo, para todo
,
De maneira análoga, multiplicando por
e integrando,
Para o coeficiente constante, multiplique a série por
e integre em
:
pois as integrais dos cossenos e senos para
são zero. Assim
ou seja
Observação prática: a presença do fator
no termo constante da série vem do uso desta convenção para que as fórmulas de
fiquem sem um fator extra (por causa de
neste caso).
Passo 5
Reunindo tudo, a série trigonométrica de Fourier de
(para
-periódica e contínua por pedaços) é
onde os coeficientes são dados por
Interpretação das variáveis:
-
é o índice do harmônico (modo) — é a primeira harmônica, a segunda, etc. -
e são as funções base com frequência para período . - Os coeficientes
e são obtidos por “projeção” de nessas bases através de integrais no intervalo gerador .
Sobre convergência: com a hipótese dada (contínua por pedaços e
-periódica) a série converge para
em pontos de continuidade e converge para a média
em pontos de descontinuidade. Se
for contínua em todo
, a convergência é ponto a ponto para
.
Passo 6
Forma complexa (opcional, muito útil em cálculos): a série complexa de Fourier com período
é
com coeficientes
Relações entre as formas:
, e para
,