Escreva a fórmula para os coeficientes de Fourier, bem como a série de Fourier, para o caso em que f(x) é contínua por pedaços em \mathbb{R} e
f(x) é função 2 -periódica e contínua por pedaçõs em [-1,1].

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva as fórmulas dos coeficientes de Fourier e a expressão da série de Fourier para uma função f que satisfaz:
  • f(x) é contínua por pedaços em \mathbb{R}.
  • f(x) é 2-periódica e, em particular, contínua por pedaços no intervalo [-1,1].
As perguntas implícitas são: quais são as fórmulas de a_0, a_n, b_n (os coeficientes da forma trigonométrica) e qual é a expressão da série trigonométrica de Fourier no caso de período 2. (Mais adiante eu também dou a forma complexa, que é útil às vezes.)

Passo 2

Primeiro eu explico a ideia básica e as notações que vou usar. Como a função é 2-periódica, o período é T=2. É comum definir L=\tfrac{T}{2}=1. A frequência angular fundamental é
\omega_0=\frac{2\pi}{T}=\pi.
A série de Fourier usa as funções \cos(n\omega_0 x)=\cos(n\pi x) e \sin(n\omega_0 x)=\sin(n\pi x) como base. A série trigonométrica terá a forma
\text{(constante)}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(\text{coeficiente}\cdot\cos(n\pi x)+\text{coeficiente}\cdot\sin(n\pi x)\big).
Nas próximas etapas eu mostro por que os coeficientes têm as fórmulas que se costuma ver.

Passo 3

Vou apresentar e justificar as relações de ortogonalidade que tornam possível isolar cada coeficiente. Essas integrais são calculadas no intervalo [[-1,1]).
Usamos a identidade produto-para-soma para duas cossenos:
\cos(\alpha)\cos(\beta)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\big).
Com isso, para inteiros m,n\ge 1,
\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos((n-m)\pi x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{1}\cos((n+m)\pi x)\,dx.
Cada integral de \cos(k\pi x) com k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\} sobre [-1,1] é zero porque \cos(k\pi x) é função com média zero no período inteiro considerado (pode-se ver integrando explicitamente ou usando simetria). Assim, para n\neq m ambas as parcelas são zero e
\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)\,dx=0\quad (n\neq m).
Para n=m usamos \cos^2\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2} e obtemos
\int_{-1}^{1}\cos^2(n\pi x)\,dx=\int_{-1}^{1}\tfrac{1+\cos(2n\pi x)}{2}\,dx =\tfrac{1}{2}\cdot 2 + \tfrac{1}{2}\cdot 0 =1.
Portanto
\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\cos(m\pi x)\,dx= \begin{cases} 0, & n\neq m,\\[4pt] 1, & n=m. \end{cases}
De modo análogo obtém-se
\int_{-1}^{1}\sin(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx= \begin{cases} 0, & n\neq m,\\[4pt] 1, & n=m, \end{cases}
e a ortogonalidade cruzada
\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\sin(m\pi x)\,dx=0\quad\text{para todos }m,n\ge1.
Essas relações são a razão pela qual dá para “projetar” (f] sobre cada modo e obter fórmulas explícitas para os coeficientes.]

Passo 4

Agora uso a ideia de projeção para obter as fórmulas. Suponha que f tenha a série (formalmente)
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\big).
Multiplico ambos os lados por \cos(k\pi x) com k\ge 1 e integro em [-1,1]. Pela linearidade e pelas relações de ortogonalidade, todos os termos da soma desaparecem exceto aquele com a_k, e o lado esquerdo fica \int_{-1}^{1} f(x)\cos(k\pi x)\,dx. Assim obtemos
\int_{-1}^{1} f(x)\cos(k\pi x)\,dx = a_k \int_{-1}^{1}\cos^2(k\pi x)\,dx = a_k\cdot 1.
Logo, para todo k\ge1,
\boxed{a_k=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(k\pi x)\,dx.}
De maneira análoga, multiplicando por \sin(k\pi x) e integrando,
\boxed{b_k=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(k\pi x)\,dx\qquad (k\ge1).}
Para o coeficiente constante, multiplique a série por 1 e integre em [-1,1]:
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1}\left(\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(\cdots)\right)\,dx = \frac{a_0}{2}\cdot 2 + 0,
pois as integrais dos cossenos e senos para n\ge1 são zero. Assim
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = a_0,
ou seja
\boxed{a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx.}
Observação prática: a presença do fator 1/2 no termo constante da série vem do uso desta convenção para que as fórmulas de a_n,b_n fiquem sem um fator extra (por causa de \int_{-1}^1\cos^2=1 neste caso).

Passo 5

Reunindo tudo, a série trigonométrica de Fourier de f (para f 2-periódica e contínua por pedaços) é
\boxed{f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\big)}
onde os coeficientes são dados por
\boxed{a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx,}
\boxed{a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1),}
\boxed{b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx\quad(n\ge1).}
Interpretação das variáveis:
  • n é o índice do harmônico (modo) — n=1 é a primeira harmônica, n=2 a segunda, etc.
  • \cos(n\pi x) e \sin(n\pi x) são as funções base com frequência n\pi para período 2.
  • Os coeficientes a_n e b_n são obtidos por “projeção” de f nessas bases através de integrais no intervalo gerador [-1,1].
Sobre convergência: com a hipótese dada (contínua por pedaços e 2-periódica) a série converge para f(x) em pontos de continuidade e converge para a média \tfrac{f(x^-)+f(x^+)}{2} em pontos de descontinuidade. Se f for contínua em todo \mathbb{R}, a convergência é ponto a ponto para f(x).

Passo 6

Forma complexa (opcional, muito útil em cálculos): a série complexa de Fourier com período 2 é
\boxed{f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\pi x}}
com coeficientes
\boxed{c_n=\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)e^{-in\pi x}\,dx\quad(n\in\mathbb{Z}).}
Relações entre as formas: c_0=\tfrac{a_0}{2}, e para n\ge1,
a_n=c_n+c_{-n},\qquad b_n=i(c_n-c_{-n}).

Resposta

\text{Forma trigonométrica:}\qquad f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\big)é
a_0=\int_{-1}^{1} f(x)\,dx,\qquad a_n=\int_{-1}^{1} f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\qquad b_n=\int_{-1}^{1} f(x)\sin(n\pi x)\,dx\;(n\ge1)
\text{Forma complexa:}\qquad f(x)\sim\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\pi x},\qquad c_n=\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{1} f(x)e^{-in\pi x}\,dx.

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