Seja
função
-periódica dada por
se
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
.
b) Use o item a) para mostrar que
.
a) Mostre que sua série de Fourier é dada por
b) Use o item a) para mostrar que
Passo 1
O enunciado dá uma função
-periódica definida em
por
Perguntas:
- (item a) Mostrar que a série de Fourier de
é
- (item b) Usar o item (a) para mostrar que
Informações dadas que vamos usar:
é
-periódica e a fórmula padrão dos coeficientes de Fourier para funções
-periódicas.
Passo 2
Lembrete da fórmula padrão da série de Fourier para uma função
-periódica (supondo
integrável em
):
onde os coeficientes são dados por
Vou calcular
para
. Sempre que usar uma integral em
, vou analisar paridade para simplificar quando possível.
Passo 3
Cálculo de
.
A primeira integral é
.
A segunda integral é porque
é função ímpar em intervalo simétrico.
Portanto
A segunda integral é
Portanto
e daí a contribuição constante da série é
Passo 4
Cálculo de
para
.
A integral
para todo
(coseno é par e integra um período inteiro, dá zero).
Quanto a :
é ímpar e
é par, logo o produto
é função ímpar, então essa integral em
é
.
Portanto
Quanto a
Portanto
Passo 5
Cálculo de
para
.
A integral
porque
é ímpar.
Portanto
Portanto
Observe que
é ímpar e
também é ímpar, então o produto
é função par. Assim podemos escrever
Agora calculamos
por partes. Seja
,
. Então
,
. Assim
A integral
. Então
Logo
Voltando a
,
Passo 6
Reunindo coeficientes:
,
e
. Portanto a série de Fourier é
Isso responde o item (a). Observação prática: a série converge para
em todo
onde
é contínua;
é contínua em
, então podemos avaliar a série ali (usaremos isso no item b).
Passo 7
Usando a série no ponto
. Primeiro calcule o valor à esquerda:
À direita, substituindo
em
:
Note que
para
par, e para
ímpar
vale
Assim só os
ímpares contribuem; para
temos o termo
Portanto a soma nas ímpares é
Logo a igualdade
vale.
Passo 8
Isolando a soma:
Dividindo por
e reorganizando:
Isso é exatamente o item (b).
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)