Escreva uma fórmula para estimar o erro absoluto pontual \left|f(x)-P_{2}(x)\right|, para os pontos da questão 1 , sabendo que são pontos obtidos da função f(x)=\sqrt{x}. Estime também o erro absoluto máximo usando a fórmula de erro global adequada.

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula geral para estimar o erro de interpolação de grau 2 de \,f(x)=\sqrt{x}
sobre três nós x_{0},x_{1},x_{2} (os “pontos da questão 1”) e, em seguida, quer a estimativa do máximo desse erro em todo o intervalo que contém esses nós.

Passo 2

Usamos a fórmula do resto de Taylor em forma de Lagrange para interpolação de grau 2. Para cada x no intervalo que contém x_{0},x_{1},x_{2} existe \xi entre o menor e o maior dos nós tal que
f(x)-P_{2}(x) =\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2}).
Como f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, temos
f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2},\quad f''(x)=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2},\quad f^{(3)}(x)=\tfrac{3}{8}x^{-5/2}.
Logo o erro pontual em módulo satisfaz
\bigl|f(x)-P_{2}(x)\bigr| \le \frac{1}{6}\,\max_{t\in I}\bigl|f^{(3)}(t)\bigr|\;\bigl| (x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr|,
onde I=[\min\{x_{0},x_{1},x_{2}\},\,\max\{x_{0},x_{1},x_{2}\}] e
\max_{t\in I}\bigl|f^{(3)}(t)\bigr| =\max_{t\in I}\frac{3}{8}\,t^{-5/2} =\frac{3}{8}\,\bigl(\min I\bigr)^{-5/2}.

Passo 3

Para obter o erro absoluto máximo sobre I, observamos que \bigl|(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr| atinge seu valor máximo em algum ponto de I. Denotemos
M = \max_{x\in I}\bigl|(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr|.
Então o erro global máximo E_{\max} satisfaz
E_{\max} \le \frac{1}{6}\, \frac{3}{8}\,(\min I)^{-5/2} \;M = \frac{1}{16}\,(\min I)^{-5/2}\;M.

Resposta

A estimativa pontual do erro é
\boxed{\bigl|f(x)-P_{2}(x)\bigr| \le \frac{1}{6}\,\max_{t\in I}\bigl|f^{(3)}(t)\bigr|\;\bigl|(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr| =\frac{1}{16}\,(\min I)^{-5/2}\,\bigl|(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr|.}
O erro absoluto máximo no intervalo I é estimado por
\boxed{E_{\max}\le \frac{1}{16}\,(\min I)^{-5/2}\;\max_{x\in I}\bigl|(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})\bigr|.}
Basta então substituir x_{0},x_{1},x_{2} para obter o valor numérico concreto.

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