Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^{3} centímetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição u em função do tempo t e faça um esboço do seu gráfico.
(a) Se o sistema é colocado em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontada para cima de 4 centímetros por segundo.
(b) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
(c) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 centímetros e depois é solto.

Passo 1

O problema trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento no regime de movimento harmônico simples. Temos uma massa de 100 g que, sob a gravidade de 10^3,cm/s ^2, estica a mola em 10 cm. Vamos achar a constante elástica k, montar a equação diferencial, extrair a frequência e o período, e depois, para cada condição inicial, determinar a solução u(t), sua amplitude e esboçar qualitativamente o gráfico.

Passo 2

Em equilíbrio a força peso iguala a força elástica:
m g = k x_{\rm eq}
onde m=100 g, g=10^3,cm/s ^2 e x_{\rm eq}=10 cm. Logo
k = \frac{m g}{x_{\rm eq}} = \frac{100\cdot10^3}{10} = 10^4\quad(\text{din}/\text{cm}).
Pela segunda lei de Newton, deslocamento u(t) em torno da posição de equilíbrio satisfaz
m\,u'' + k\,u = 0.

Passo 3

Dividindo por m obtém-se
u'' + \frac{k}{m}\,u = 0,
com
\omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{10^4}{100} = 100,
logo \omega = 10,rad/s. A frequência e o período valem
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi}\\ \text{Hz}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}\\ \text{s}.
A solução geral é
u(t) = A\cos(10t) + B\sin(10t),
e a amplitude R=\sqrt{A^2+B^2}.

Passo 4

(a) Condição inicial: parte da posição de equilíbrio com velocidade para cima de 4 cm/s. Isso significa
u(0)=0,\quad u'(0)=+4.
Como u'(t) = -10A\sin(10t) + 10B\cos(10t), em t=0 u'(0)=10B=4, isto é B=0,4. E A=0. Portanto
u(t) = 0,4\,\sin(10t),
com amplitude R=0,4 cm. O gráfico é uma senoide de período \pi/5, que passa em u=0 com inclinação positiva.

Passo 5

(b) Puxado para baixo 1 cm e lançado para baixo com velocidade 10 cm/s, ou seja
u(0)=-1,\quad u'(0)=-10.
De u(0)=A=-1 e de u'(0)=10B=-10 obtemos B=-1. Assim
u(t) = -\cos(10t) - \sin(10t) = -\sqrt{2}\,\cos\bigl(10t - \tfrac\pi4\bigr),
com amplitude R=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2} cm. O gráfico é uma cossenoide defasada de período \pi/5.

Passo 6

(c) Puxado para baixo 2 cm e solto sem velocidade inicial:
u(0)=-2,\quad u'(0)=0.
Isto dá A=-2 e B=0, logo
u(t) = -2\cos(10t),
com amplitude R=2 cm. O gráfico é uma cossenoide de amplitude 2 cm e período \pi/5.

Resposta

Frequência e período gerais: f = \tfrac{5}{\pi} Hz, T = \tfrac{\pi}{5} s.
(a) u(t)=0,4\sin(10t), amplitude 0,4 cm.
(b) u(t)=-\cos(10t)-\sin(10t)=-\sqrt{2}\cos\bigl(10t-\tfrac\pi4\bigr), amplitude \sqrt{2} cm.
(c) u(t)=-2\cos(10t), amplitude 2 cm.

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