Um corpo de massa 100 gramas estica uma mola 10 centímetros. Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de
centímetros por segundo ao quadrado. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição
em função do tempo
e faça um esboço do seu gráfico.
(a) Se o sistema é colocado em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontada para cima de 4 centímetros por segundo.
(b) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
(c) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 centímetros e depois é solto.
(a) Se o sistema é colocado em movimento a partir da sua posição de equilíbrio com uma velocidade apontada para cima de 4 centímetros por segundo.
(b) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 1 centímetro e colocado em movimento com uma velocidade para baixo de 10 centímetros por segundo.
(c) Se o sistema é puxado para baixo esticando a mola 2 centímetros e depois é solto.
Passo 1
O problema trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento no regime de movimento harmônico simples. Temos uma massa de
g que, sob a gravidade de
,cm/s
, estica a mola em
cm. Vamos achar a constante elástica
, montar a equação diferencial, extrair a frequência e o período, e depois, para cada condição inicial, determinar a solução
, sua amplitude e esboçar qualitativamente o gráfico.
Passo 2
Em equilíbrio a força peso iguala a força elástica:
onde
g,
,cm/s
e
cm. Logo
Pela segunda lei de Newton, deslocamento
em torno da posição de equilíbrio satisfaz
Passo 3
Dividindo por
obtém-se
com
logo
,rad/s. A frequência e o período valem
A solução geral é
e a amplitude
.
Passo 4
(a) Condição inicial: parte da posição de equilíbrio com velocidade para cima de
cm/s. Isso significa
Como
, em
dá
, isto é
. E
. Portanto
com amplitude
cm. O gráfico é uma senoide de período
, que passa em
com inclinação positiva.
Passo 5
(b) Puxado para baixo
cm e lançado para baixo com velocidade
cm/s, ou seja
De
e de
obtemos
. Assim
com amplitude
cm. O gráfico é uma cossenoide defasada de período
.
Passo 6
(c) Puxado para baixo
cm e solto sem velocidade inicial:
Isto dá
e
, logo
com amplitude
cm. O gráfico é uma cossenoide de amplitude 2 cm e período
.
Resposta
Frequência e período gerais:
Hz,
s.
(a)
, amplitude
cm.
(b) , amplitude
cm.
(c) , amplitude
cm.
(b)
(c)