Escreva o polinômio interpolador P_{2}(x) na forma de Lagrange para os pontos abaixo.
x_{i} 1 1.4 1.8
y_{i}=f\left(x_{i}\right) 1 1.18322 1.34164

Passo 1

O enunciado pede para construir o polinômio interpolador de grau 2, denotado por P_{2}(x), que passe pelos três pontos
(x_{0},y_{0})=(1,1),\quad(x_{1},y_{1})=(1.4,1.18322),\quad(x_{2},y_{2})=(1.8,1.34164).
O método a usar é a forma de Lagrange, que expressa P_{2}(x) como combinação linear dos valores y_{i} vezes as bases \displaystyle \ell_{i}(x)=\prod_{j\neq i}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.

Passo 2

A forma geral de Lagrange para três pontos é
P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}y_{i}\,\ell_{i}(x) \quad\text{com}\quad \ell_{i}(x)=\prod_{\substack{0\le j\le2\j\neq i}}\frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}.

Passo 3

Calculamos os denominadores de cada \ell_{i}:
(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})=(1-1.4)(1-1.8)=(-0.4)\cdot(-0.8)=0.32,
(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})=(1.4-1)(1.4-1.8)=0.4\cdot(-0.4)=-0.16,
(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})=(1.8-1)(1.8-1.4)=0.8\cdot0.4=0.32.

Passo 4

Substituindo em P_{2}(x)=\sum_{i=0}^{2}y_{i}\,\ell_{i}(x) obtemos
P_{2}(x) =1\cdot\frac{(x-1.4)(x-1.8)}{0.32} +1.18322\cdot\frac{(x-1)(x-1.8)}{-0.16} +1.34164\cdot\frac{(x-1)(x-1.4)}{0.32}.

Resposta

P_{2}(x) = \frac{(x-1.4)(x-1.8)}{0.32} -1.18322\cdot\frac{(x-1)(x-1.8)}{0.16} +1.34164\cdot\frac{(x-1)(x-1.4)}{0.32}.

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