(PROFMAT) Os alunos de uma turma fizeram uma coleta para juntar 405 reais, custo de uma excursão. Todos contribuíram igualmente. Na última hora, dois alunos desistiram. Com isso, a parte de cada um sofreu um aumento de um real e vinte centavos. Quantos alunos tem a turma?

Passo 1

O enunciado diz que uma turma inteira juntou R$405 divididos igualmente entre N alunos. Quando 2 alunos desistiram, os restantes passaram a pagar R$ 1,20 a mais cada. O conteúdo aqui é montagem de uma equação a partir de proporcionalidade e resolução de uma equação quadrática em N.

Passo 2

Se cada um dos N alunos pagava igualmente, a cota inicial de cada um era
\frac{405}{N}.

Passo 3

Com a saída de 2 alunos, sobram N-2 alunos, e cada um deles passa a pagar
\frac{405}{N-2}.
Sabendo que esse valor é R$ 1,20 maior que o anterior, escrevemos
\frac{405}{N-2} \;-\;\frac{405}{N} \;=\;1{,}20.

Passo 4

Para resolver, reduzimos ao mesmo denominador:
\frac{405N - 405(N-2)}{N(N-2)} = 1{,}20 \quad\Longrightarrow\quad \frac{405\cdot 2}{N(N-2)} = 1{,}20 \quad\Longrightarrow\quad \frac{810}{N(N-2)} = 1{,}20.
Multiplicando,
N(N-2) = \frac{810}{1{,}20} = 675.
Isso dá a equação quadrática
N^2 - 2N - 675 = 0.
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot(-675) = 4 + 2700 = 2704,
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N = \frac{2 \pm \sqrt{2704}}{2} = \frac{2 \pm 52}{2},
o que fornece as raízes N = 27 e N = -25. Como N deve ser positivo, temos N = 27.

Resposta

A turma tem 27 alunos.

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