(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa
de um arame fino com função densidade
e forma da curva espacial
.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice
, se a densidade for uma constante
.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) escrever as fórmulas gerais para a massa e o centro de massa
de um fio fino de densidade
apoiado numa curva espacial
; (b) aplicar essas fórmulas à hélice
com densidade constante
.
Passo 2
As fórmulas gerais são
Se
tem parametrização
,
, então
e
e análogos para
e
.
Passo 3
Para a hélice usamos
Logo
Passo 4
O elemento de comprimento é
Como
é constante, a massa total vale
Passo 5
Para
e
aparecem integrais do tipo
e
.
Como é
-periódica e par em relação a
, essas integrais se anulam, logo
Como
Passo 6
Para
temos
Note que
depende de
e
, logo é simétrica em torno de
. Dessa simetria segue-se
e então