(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa (barx, bary, barz) de um arame fino com função densidade rho(x, y, z) e forma da curva espacial C.
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice x=4 sen t, y=2 cos t, z=3 t, 0 <= t <= 2 pi, se a densidade for uma constante k.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) escrever as fórmulas gerais para a massa e o centro de massa (bar x,bar y,bar z) de um fio fino de densidade rho(x,y,z) apoiado numa curva espacial C; (b) aplicar essas fórmulas à hélice
x=4sin t, y=2cos t, z=3t, 0<= t<=2pi
com densidade constante k.

Passo 2

As fórmulas gerais são
m ;=;integralC rho(x,y,z),ds,
bar x ;=;1mintegralC x,rho(x,y,z),ds, bar y ;=;1mintegralC y,rho(x,y,z),ds, bar z ;=;1mintegralC z,rho(x,y,z),ds
Se C tem parametrização r(t)=(x(t),y(t),z(t)), a<= t<= b, então ds=| r'(t)|,dt e
m=integrala^b rhol( r(t)r)| r'(t)|,dt, bar x=1mintegrala^b x(t),rhol( r(t)r)| r'(t)|,dt,
e análogos para bar y e bar z.

Passo 3

Para a hélice usamos
r(t) = l(4sin t,;2cos t,;3tr), 0<= t<=2pi
Logo
r'(t) = l(4cos t,;-2sin t,;3r)

Passo 4

O elemento de comprimento é
ds = | r'(t)|,dt = raiz16cos^2t+4sin^2t+9;dt
Como rho=k é constante, a massa total vale
m = integral0^2pik,ds = kintegral0^2piraiz16cos^2t+4sin^2t+9;dt

Passo 5

Para bar x e bar y aparecem integrais do tipo
integral0^2pisin t,| r'(t)|,dt e
integral0^2picos t,| r'(t)|,dt.
Como | r'(t)| é 2pi-periódica e par em relação a t=pi, essas integrais se anulam, logo
bar x = 0, bar y = 0

Passo 6

Para bar z temos
bar z =1mintegral0^2piz,k,ds =1mintegral0^2pi(3t),k,| r'(t)|,dt
Note que | r'(t)| depende de sin^2t e cos^2t, logo é simétrica em torno de t=pi. Dessa simetria segue-se
integral0^2pit,| r'(t)|,dt =piintegral0^2pi| r'(t)|,dt
e então
bar z =3km,piintegral0^2pi| r'(t)|,dt =3pi

Resposta

(bar x,bar y,bar z) = (0,,0,,3pi)

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