(a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa (barx, bary, barz) de um arame fino com forma da curva espacial C se o fio tem função densidade rho(x, y, z).
(b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice x=2 sen t, y=2 cos t, z=3 t, 0 <= t <= 2 pi, se a densidade for uma constante k.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Na parte (a) queremos as fórmulas gerais para o centro de massa (barx,bary,barz) de um fio fino sobre uma curva espacial C com densidade rho(x,y,z). Na parte (b) aplicamos essas fórmulas a uma hélice parametrizada por
x=2sin t, y=2cos t, z=3t, 0<= t<=2pi,
com densidade constante k. Para isso vamos usar que a massa de um fio é
M=integralCrho,ds
e que as coordenadas do centro de massa são médias ponderadas por rho,ds.

Passo 2

As fórmulas gerais para a curva C são:
M=integralC rho(x,y,z),ds,
barx = 1MintegralC x,rho(x,y,z),ds,
bary = 1MintegralC y,rho(x,y,z),ds,
barz = 1MintegralC z,rho(x,y,z),ds

Passo 3

Para a hélice tomamos a parametrização r(t)=(2sin t,2cos t,3t). Então
r'(t)=(2cos t,,-2sin t,,3),
ds=| r'(t)|,dt=raiz(2cos t)^2+(-2sin t)^2+3^2,dt=raiz4+9,dt=raiz13,dt
Como rho=k constante,
M=integral0^2pik,ds =integral0^2pikraiz13,dt =2pi kraiz13

Passo 4

Calculamos barx e bary:
integral0^2pix,rho,ds =integral0^2pi(2sin t),kraiz13,dt =2kraiz13integral0^2pisin t,dt=0,
integral0^2piy,rho,ds =integral0^2pi(2cos t),kraiz13,dt =2kraiz13integral0^2picos t,dt=0
Logo
barx=0M=0, bary=0M=0

Passo 5

Calculamos barz:
integral0^2piz,rho,ds =integral0^2pi(3t),kraiz13,dt =3kraiz13integral0^2pit,dt =3kraiz13,(2pi)^22 =3kraiz13,pi^2
Portanto
barz =3kraiz13,pi^22pi kraiz13 =3pi^22pi =3pi

Resposta

(a)
M=integralC rho(x,y,z),ds, barx=1MintegralC x,rho,ds, bary=1MintegralC y,rho,ds, barz=1MintegralC z,rho,ds
(b) (barx,bary,barz)=(0,0,3pi).

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