Seja f a funçăo definida por
f(x)=sumn=0^+infty(-1)^n x^n3^n(n+2) (a) Ache o dominio de f.
(b) Ache f^prime(x) e determine o dominio de f^prime.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^n3^n(n+2)
e pede:
– (a) o domínio de f, ou seja, o conjunto de x em que essa série converge;
– (b) a derivada f'(x) obtida por diferenciação termo a termo, e o domínio de f'.
O conteúdo usado será o teste da razão para séries de potências, o estudo de convergência em extremos, e a justificação da diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão a
an(x)=(-1)^nx^n3^n(n+2)
Calculamos
L=limntoinftygl|an+1(x)an(x)gr| =limntoinfty|x|^n+13^n+1(n+3)cdot3^n(n+2)|x|^n =|x|3,limntoinftyn+2n+3 =|x|3
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se L<1, isto é
|x|3<1 Longrightarrow |x|<3
Logo em (-3,3) a série converge absolutamente.

Passo 3

Agora testamos os extremos x=3 e x=-3.
Para x=3 a série vira
sumn=0^infty(-1)^n3^n3^n(n+2) =sumn=0^infty(-1)^n1n+2,
que é alternada, com termos em valor absoluto tfrac1n+2to0 e decrescentes. Pelo teste de Leibniz ela converge.
Para x=-3 a série fica
sumn=0^infty(-1)^n(-3)^n3^n(n+2) =sumn=0^infty1n+2,
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
Portanto o domínio de f é
xmid |x|<3cup3=(-3,3]

Passo 4

Dentro de |x|<3 a série converge absolutamente, permitindo derivar termo a termo. Para n>=0 temos
ddxgl[(-1)^nx^n3^n(n+2)gr] =(-1)^nn,x^,n-13^n(n+2)
Ajustando o índice para começar em n=0 (basta fazer m=n-1), uma forma limpa é
f'(x) =sumn=0^infty(-1)^n+1n+13^,n+1(n+3),x^n

Passo 5

O raio de convergência da série em f'(x) é o mesmo, R=3. Nos extremos x=pm3 os termos não tendem a zero (ficam aproximadamente constantes), então a série derivada diverge em x=pm3. Logo o domínio de f' é
(-3,3)

Resposta

(a) O domínio de f é ,(-3,3].
(b)
f'(x) =sumn=0^infty(-1)^n+1n+13^,n+1(n+3),x^n,
com domínio de f' igual a (-3,3).

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