Seja a funçăo definida por (a) Ache o dominio de .
(b) Ache e determine o dominio de .
Passo 1
O enunciado define
e pede:
– (a) o domínio de , ou seja, o conjunto de em que essa série converge;
– (b) a derivada obtida por diferenciação termo a termo, e o domínio de .
O conteúdo usado será o teste da razão para séries de potências, o estudo de convergência em extremos, e a justificação da diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Para achar o raio de convergência aplicamos o teste da razão a
Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge absolutamente se L<1, isto é
|x|3<1 Longrightarrow |x|<3
Logo em (-3,3) a série converge absolutamente.
Passo 3
Agora testamos os extremos x=3 e x=-3.
Para x=3 a série vira
Ajustando o índice para começar em n=0 (basta fazer m=n-1), uma forma limpa é
f'(x) =sumn=0^infty(-1)^n+1n+13^,n+1(n+3),x^n
Passo 5
O raio de convergência da série em f'(x) é o mesmo, R=3. Nos extremos x=pm3 os termos não tendem a zero (ficam aproximadamente constantes), então a série derivada diverge em x=pm3. Logo o domínio de f' é