Escreva \frac{\cos x}{1+\sin x}+\tan x em termos de \cos x.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x
de modo que apareça somente \cos x. Vamos usar manipulações algébricas e identidades trigonométricas (em particular, 1-\sin^2x=\cos^2x) para eliminar o \sin x do resultado.

Passo 2

Racionalizamos o primeiro termo, multiplicando numerador e denominador por 1-\sin x:
\frac{\cos x}{1+\sin x}\,\cdot\,\frac{1-\sin x}{1-\sin x} = \frac{\cos x\,(1-\sin x)}{1-\sin^2x} = \frac{\cos x\,(1-\sin x)}{\cos^2x} = \frac{1-\sin x}{\cos x}.

Passo 3

Escrevemos \frac{1-\sin x}{\cos x} como diferença de frações e somamos \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}:
\frac{1-\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} \;-\;\frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{sec} x \;-\;\tan x.
Logo,
\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x = (\operatorname{sec} x - \tan x) + \tan x = \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x}.

Resposta

\frac{1}{\cos x}

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