Verifique se a igualdade \frac{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}{1-\tan ^{2} x}=\sin ^{2} x é verdadeira ou falsa.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade trigonométrica
\frac{\cos^{2}x - \sin^{2}x}{1 - \tan^{2}x} = \sin^{2}x
é verdadeira para todo x. O conteúdo envolve manipular expressões trigonométricas usando identidades básicas, como a definição de \tan x e a forma da diferença de quadrados.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}:
1 - \tan^{2}x = 1 - \frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x - \sin^{2}x}{\cos^{2}x}.

Passo 3

Substituindo esse resultado na expressão original, o numerador \cos^{2}x - \sin^{2}x sobre o denominador acima fica
\frac{\cos^{2}x - \sin^{2}x}{\displaystyle\frac{\cos^{2}x - \sin^{2}x}{\cos^{2}x}} = (\cos^{2}x - \sin^{2}x)\,\frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x - \sin^{2}x} = \cos^{2}x,
desde que \cos^{2}x - \sin^{2}x\neq 0.

Passo 4

Portanto a expressão à esquerda reduz-se a \cos^{2}x. Para que \cos^{2}x = \sin^{2}x fosse válida para todo x, precisaríamos ter \tan^{2}x=1 em qualquer x, o que é falso (por exemplo, em x=0 temos \cos^{2}0=1 e \sin^{2}0=0). Logo, a igualdade não se mantém para valores gerais de x.

Resposta

A igualdade é falsa.

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