Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}.
Informações dadas:
  • Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{1}{n+1}.
  • A variável da série é x (assume-se centro em 0, ou seja é uma série do tipo \sum a_n x^n).
    O que se pede: encontrar o raio R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. (Não é pedido analisar a convergência nos extremos |x|=R, apenas o raio.)

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática).
Para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
o raio de convergência R é dado por uma das fórmulas equivalentes:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}},
quando o \limsup é finito, ou, se o limite \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right| existe, também vale
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|.
Explicando cada símbolo:
  • a_n é o coeficiente do termo x^n.
  • |a_n|^{1/n} é a raiz enésima do módulo de a_n.
  • \limsup_{n\to\infty} é o limite superior; para sequências que têm limite usual, o \limsup coincide com o limite.
  • Essas fórmulas vêm do teste da raiz (Cauchy) e do teste da razão (quando aplicável). A ideia intuitiva: quanto mais rápido os coeficientes a_n tendem a zero, maior é o raio de convergência.

Passo 3

Aplicando a fórmula do \limsup (teste da raiz) ao nosso caso.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n+1}. Vou calcular
L:=\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n},
pois a sequência é positiva e tem limite usual, então \limsup=\lim.
Para calcular esse limite, uso a função exponencial: se b_n>0,
b_n^{1/n}=\exp\!\big(\tfrac{1}{n}\ln b_n\big).
No nosso caso b_n=\dfrac{1}{n+1}, logo
\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}=\exp\!\left(\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{n+1}\right)\right).
Agora avalio o expoente:
\frac{1}{n}\ln\!\left(\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{n}\big(-\ln(n+1)\big)=-\frac{\ln(n+1)}{n}.
Como \ln(n+1) cresce mais devagar que n, tem-se
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}=0.
Portanto o expoente tende a 0, e assim
L=\exp(0)=1.

Passo 4

Concluindo o raio com a fórmula do passo 2.
Usando
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}},
e com L=1 do passo anterior, obtemos
R=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Verificação alternativa (teste da razão) — útil para fixar a ideia.
Se existir \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}, então esse limite também dá R.
Aqui
\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n+2}}=\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1},
cujo limite quando n\to\infty é 1. Logo pela fórmula do teste da razão
R=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=1,
coerente com o resultado anterior.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido (exemplo para fixar).
Se tivéssemos a_n=\dfrac{1}{2^n}, então
\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2^n}\right)^{1/n}=\frac{1}{2},
e o raio seria R=\dfrac{1}{1/2}=2. Isso mostra a relação direta entre a taxa de decaimento dos coeficientes e o tamanho do intervalo onde a série converge.

Resposta

1

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