Determine o raio de convergência das séries de potências abaixo: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}.
Informações dadas:
Os coeficientes da série são a_n=\dfrac{1}{n+1}.
A variável da série é x (assume-se centro em 0, ou seja é uma série do tipo \sum a_n x^n).
O que se pede: encontrar o raio R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R. (Não é pedido analisar a convergência nos extremos |x|=R, apenas o raio.)
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática).
Para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
o raio de convergência R é dado por uma das fórmulas equivalentes:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}},
quando o \limsup é finito, ou, se o limite \lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right| existe, também vale
\limsup_{n\to\infty} é o limite superior; para sequências que têm limite usual, o \limsup coincide com o limite.
Essas fórmulas vêm do teste da raiz (Cauchy) e do teste da razão (quando aplicável). A ideia intuitiva: quanto mais rápido os coeficientes a_n tendem a zero, maior é o raio de convergência.
Passo 3
Aplicando a fórmula do \limsup (teste da raiz) ao nosso caso.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n+1}. Vou calcular
Concluindo o raio com a fórmula do passo 2.
Usando
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}},
e com L=1 do passo anterior, obtemos
R=\frac{1}{1}=1.
Passo 5
Verificação alternativa (teste da razão) — útil para fixar a ideia.
Se existir \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}, então esse limite também dá R.
Aqui
e o raio seria R=\dfrac{1}{1/2}=2. Isso mostra a relação direta entre a taxa de decaimento dos coeficientes e o tamanho do intervalo onde a série converge.