Mostre que se
e
são sequências de Cauchy racionais. Então as sequências
também são sequências de Cauchy.
também são sequências de Cauchy.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos duas sequências racionais de Cauchy, chamadas
e
, então a sequência formada pelos produtos dessas duas, ou seja,
, também é uma sequência de Cauchy. Vamos usar conceitos básicos de sequências de Cauchy e propriedades de números racionais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência de Cauchy. Uma sequência
é de Cauchy se, para todo
, existe um número natural
tal que, para todos os
, a distância entre
e
é menor que
. Ou seja:
Passo 3
Agora, queremos mostrar que a sequência
também satisfaz essa condição. Vamos considerar dois termos quaisquer dessa sequência, digamos
e
, e calcular a diferença entre eles:
Passo 4
Vamos manipular essa expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever a diferença assim:
Aplicando a desigualdade triangular, temos:
Passo 5
Agora, sabemos que
e
são sequências de Cauchy, o que implica que ambas são limitadas. Ou seja, existem números
e
tais que:
Passo 6
Com isso, podemos estimar nossa expressão anterior:
Passo 7
Como
e
são sequências de Cauchy, para um dado
, podemos escolher
grande o suficiente para que:
Passo 8
Substituindo essas estimativas na nossa desigualdade:
Passo 9
Portanto, mostramos que para qualquer
, existe um
tal que para todos
, a diferença
é menor que
. Isso satisfaz a definição de uma sequência de Cauchy.
Resposta
Assim, concluímos que a sequência
é uma sequência de Cauchy.