Mostre que se (pn)n in N e (pn)n in N são sequências de Cauchy racionais. Então as sequências
(pn qn)n in N
também são sequências de Cauchy.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que se temos duas sequências racionais de Cauchy, chamadas (pn) e (qn), então a sequência formada pelos produtos dessas duas, ou seja, (pn qn), também é uma sequência de Cauchy. Vamos usar conceitos básicos de sequências de Cauchy e propriedades de números racionais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma sequência de Cauchy. Uma sequência (an) é de Cauchy se, para todo epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para todos os m, n > N, a distância entre am e an é menor que epsilon. Ou seja:
forall epsilon > 0, exists N in N, tal que |am - an| < epsilon para todos m, n > N

Passo 3

Agora, queremos mostrar que a sequência (pn qn) também satisfaz essa condição. Vamos considerar dois termos quaisquer dessa sequência, digamos pm qm e pn qn, e calcular a diferença entre eles:
|pm qm - pn qn|

Passo 4

Vamos manipular essa expressão para facilitar a análise. Podemos reescrever a diferença assim:
|pm qm - pn qn| = |pm qm - pm qn + pm qn - pn qn|
Aplicando a desigualdade triangular, temos:
|pm qm - pm qn| + |pm qn - pn qn| = |pm||qm - qn| + |qn||pm - pn|

Passo 5

Agora, sabemos que (pn) e (qn) são sequências de Cauchy, o que implica que ambas são limitadas. Ou seja, existem números Mp e Mq tais que:
|pn| <= Mp e |qn| <= Mq para todo n in N

Passo 6

Com isso, podemos estimar nossa expressão anterior:
|pm qm - pn qn| <= Mp |qm - qn| + Mq |pm - pn|

Passo 7

Como (pn) e (qn) são sequências de Cauchy, para um dado epsilon > 0, podemos escolher N grande o suficiente para que:
|pm - pn| < epsilon2Mq e |qm - qn| < epsilon2Mp para todos m, n > N

Passo 8

Substituindo essas estimativas na nossa desigualdade:
|pm qm - pn qn| <= Mp (epsilon2Mp) + Mq (epsilon2Mq) = epsilon2 + epsilon2 = epsilon

Passo 9

Portanto, mostramos que para qualquer epsilon > 0, existe um N tal que para todos m, n > N, a diferença |pm qm - pn qn| é menor que epsilon. Isso satisfaz a definição de uma sequência de Cauchy.

Resposta

Assim, concluímos que a sequência (pn qn) é uma sequência de Cauchy.

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