Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de convergência de séries, e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento geral dos termos da série quando fica bem grande. Observamos que no numerador temos , que cresce de forma linear, enquanto no denominador temos . Sabemos que cresce exponencialmente, e oscila entre -1 e 1, então para valores grandes de , o termo praticamente não afeta o denominador. Assim, podemos estimar que se comporta como para grande.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de um teste de convergência que nos ajude a comparar a série dada com uma série conhecida. Um bom candidato aqui é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil especialmente quando temos termos com potências ou fatoriais.
Passo 4
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Simplificando, temos:
L = limn to infty (n+6)(2^n + cos n)(n+5)(2^n+1 + cos(n+1))
Observando que 2^n+1 = 2 cdot 2^n e que cos n é pequena comparada com 2^n, podemos simplificar ainda mais:
L = limn to infty (n+6)(n+5) cdot 2^n2 cdot 2^n = limn to infty n+62(n+5) = 12
Passo 5
Conforme o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 12 < 1, então podemos concluir que a série sum n+52^n+cos nconverge.