Estude a convergência das séries seguintes:
sum n+52^n+cos n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série sum n+52^n+cos n converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é a de convergência de séries, e vamos precisar usar alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no comportamento geral dos termos da série quando n fica bem grande. Observamos que no numerador temos n + 5, que cresce de forma linear, enquanto no denominador temos 2^n + cos n. Sabemos que 2^n cresce exponencialmente, e cos n oscila entre -1 e 1, então para valores grandes de n, o termo cos n praticamente não afeta o denominador. Assim, podemos estimar que n+52^n+cos n se comporta como n2^n para n grande.

Passo 3

Agora, vamos lembrar de um teste de convergência que nos ajude a comparar a série dada com uma série conhecida. Um bom candidato aqui é o Teste da Razão (ou Teste de D’Alembert), que é útil especialmente quando temos termos com potências ou fatoriais.

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | (n+1)+52^n+1 + cos(n+1)n+52^n + cos n |
Simplificando, temos:
L = limn to infty (n+6)(2^n + cos n)(n+5)(2^n+1 + cos(n+1))
Observando que 2^n+1 = 2 cdot 2^n e que cos n é pequena comparada com 2^n, podemos simplificar ainda mais:
L = limn to infty (n+6)(n+5) cdot 2^n2 cdot 2^n = limn to infty n+62(n+5) = 12

Passo 5

Conforme o Teste da Razão, se L < 1, a série converge absolutamente. No nosso caso, L = 12 < 1, então podemos concluir que a série sum n+52^n+cos n converge.

Resposta

A série sum n+52^n+cos n converge.

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