Seja F(u, v)=f(g(u, v), h(u, v))=f(x, y) onde f, g e h são diferenciáveis, e suponha que
g(1,0)=2, partial gpartial u(1,0)=-2, partial gpartial v(1,0)=6, e partial fpartial x(2,3)=-1
e
h(1,0)=3, partial hpartial u(1,0)=-2, partial hpartial v(1,0)=4, e partial fpartial y(2,3)=10
Determine partial Fpartial u(1,0) e partial Fpartial v(1,0).

Passo 1

Temos a função composta F(u,v)=f(g(u,v),h(u,v)), queremos as derivadas parciais de F em (1,0). O conteúdo é regra da cadeia para derivadas parciais de funções compostas, e vamos precisar dos valores de ∂f/∂x, ∂f/∂y em (x,y)=(2,3) e de ∂g/∂u, ∂g/∂v, ∂h/∂u, ∂h/∂v em (u,v)=(1,0).

Passo 2

A regra da cadeia para F(u,v)=f(g(u,v),h(u,v)) diz que:
partial Fpartial u=partial fpartial xpartial gpartial u+partial fpartial ypartial hpartial u
partial Fpartial v=partial fpartial xpartial gpartial v+partial fpartial ypartial hpartial v
Agora, avaliando em (u,v)=(1,0) e em (x,y)=(g(1,0),h(1,0))=(2,3), substituímos os dados: ∂f/∂x(2,3)=−1, ∂f/∂y(2,3)=10, ∂g/∂u(1,0)=−2, ∂g/∂v(1,0)=6, ∂h/∂u(1,0)=−2 e ∂h/∂v(1,0)=4. Fazendo as contas,
partial Fpartial u(1,0)=(-1)(-2)+(10)(-2)=2-20=-18
partial Fpartial v(1,0)=(-1)(6)+(10)(4)=-6+40=34

Resposta

partial Fpartial u(1,0)=-18,;partial Fpartial v(1,0)=34

Exercícios relacionados