Qual é a definição da expressão \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L em termos de \varepsilon e \delta ?

Passo 1

O enunciado pede a definição formal (em termos de \varepsilon e \delta) da afirmação \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Há uma função f definida em algum subconjunto dos reais (o domínio de f).
  • Há um ponto x_{0} (um ponto de acumulação do domínio de f — isto é, existem pontos do domínio arbitrariamente próximos a x_{0}).
  • Há um número real L que se pretende que seja o limite de f(x) quando x se aproxima de x_{0}.
    O que se quer: escrever a definição precisa usando quantificadores e os símbolos \varepsilon e \delta.

Passo 2

Intuição antes da definição formal (vai ajudar na prova depois):
  • \varepsilon representa “quão perto” queremos que os valores de f(x) fiquem de L (tolerância no eixo y).
  • \delta representa “quão perto” temos que exigir que x esteja de x_{0} (tolerância no eixo x).
    A ideia: para qualquer exigência de proximidade \varepsilon>0 em y, conseguimos achar uma tolerância \delta>0 em x tal que, sempre que x estiver dentro dessa tolerância de x_{0} (mas x\neq x_{0}), então f(x) ficará dentro de \varepsilon de L.

Passo 3

Agora a definição formal, escrita de forma padrão:
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio de f, se 0<|x-x_{0}|<\delta então |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 4

Explicando cada parte da definição (sem pular etapas):
  • A expressão \varepsilon>0 significa que escolhemos qualquer tolerância positiva desejada para a saída. O quantificador "para todo \varepsilon>0" quer dizer que a definição deve funcionar para quaisquer exigências, por menores que sejam.
  • A expressão "existe \delta>0" significa que, dado esse \varepsilon, podemos encontrar uma tolerância positiva no domínio que garante a propriedade.
  • A condição 0<|x-x_{0}|<\delta:
    • o 0< serve para excluir o caso x=x_{0} (o limite trata de pontos que se aproximam de x_{0}, não necessariamente do valor da função em x_{0});
    • |x-x_{0}|<\delta é a condição de proximidade no eixo x.
  • A consequência |f(x)-L|<\varepsilon é a proximidade desejada no eixo y.
  • Importante: x deve pertencer ao domínio de f; se f não estiver definida em x_{0} isso não impede a existência do limite.

Passo 5

Observação sobre a ordem dos quantificadores (muito importante):
A ordem "para todo \varepsilon>0 existe \delta>0" é essencial. Não é suficiente que exista algum \delta fixo que funciona para algum \varepsilon: é preciso responder a cada \varepsilon com algum (possivelmente diferente) \delta.

Passo 6

Exemplo prático (passo a passo) para fixar a técnica — provar que \lim_{x\to 1} 2x = 2.
  1. Começa-se com a meta: dado \varepsilon>0 queremos garantir |2x-2|<\varepsilon sempre que 0<|x-1|<\delta.
  2. Manipulação algébrica (a parte “trabalhar ao contrário” que ajuda a encontrar \delta):
|2x-2| = 2|x-1|.
Queremos 2|x-1|<\varepsilon, então basta pedir |x-1|<\varepsilon/2.
3) Definição de \delta: escolha \delta=\varepsilon/2.
4) Verificação formal: seja dado \varepsilon>0. Se 0<|x-1|<\delta=\varepsilon/2 então
|2x-2| = 2|x-1| < 2\cdot\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon,
como queríamos. Assim a definição é satisfeita e \lim_{x\to 1}2x=2.

Passo 7

Estratégias úteis ao construir provas \varepsilon- \delta:
  • Trabalhar “ao contrário”: comece exigindo |f(x)-L|<\varepsilon e faça manipulações algébricas para obter uma condição do tipo |x-x_{0}|<\text{algo que depende de }\varepsilon. Esse “algo” é o candidato a \delta.
  • Se surgirem fatores dependentes de x (ex.: |x+2| em x^{2}), use uma escolha prévia como \delta\le 1 para controlar esses fatores (por exemplo, se |x-2|<1 então |x+2|\le 5), e depois escolha \delta como o mínimo entre 1 e alguma expressão em \varepsilon.
  • Sempre verifique formalmente: “dado \varepsilon>0, escolha \delta=\dots. Então se 0<|x-x_{0}|<\delta segue que |f(x)-L|<\varepsilon.”

Passo 8

Observações finais e incentivo:
  • A definição parece cheia de quantificadores à primeira vista, mas é só uma maneira precisa de dizer "é possível fazer f(x) tão perto de L quanto se queira, tornando x suficientemente próximo de x_{0}".
  • Na prática de provas, a habilidade é manipular |f(x)-L| para encontrar uma boa escolha de \delta. Treine com funções polinomiais e lineares primeiro; depois passe para racionais e radicais. Você consegue!

Resposta

\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L
se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio de f, 0<|x-x_{0}|<\delta implica |f(x)-L|<\varepsilon.

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