Qual é a definição da expressão
em termos de
e
?
Passo 1
O enunciado pede a definição formal (em termos de
e
) da afirmação
.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Há uma função
definida em algum subconjunto dos reais (o domínio de ). - Há um ponto
(um ponto de acumulação do domínio de — isto é, existem pontos do domínio arbitrariamente próximos a ). - Há um número real
que se pretende que seja o limite de quando se aproxima de .
O que se quer: escrever a definição precisa usando quantificadores e os símbolose .
Passo 2
Intuição antes da definição formal (vai ajudar na prova depois):
-
representa “quão perto” queremos que os valores de fiquem de (tolerância no eixo ). -
representa “quão perto” temos que exigir que esteja de (tolerância no eixo ).
A ideia: para qualquer exigência de proximidadeem , conseguimos achar uma tolerância em tal que, sempre que estiver dentro dessa tolerância de (mas ), então ficará dentro de de .
Passo 3
Agora a definição formal, escrita de forma padrão:
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
no domínio de
, se
então
.
Passo 4
Explicando cada parte da definição (sem pular etapas):
- A expressão
significa que escolhemos qualquer tolerância positiva desejada para a saída. O quantificador "para todo " quer dizer que a definição deve funcionar para quaisquer exigências, por menores que sejam. - A expressão "existe
" significa que, dado esse , podemos encontrar uma tolerância positiva no domínio que garante a propriedade. - A condição
: - o
serve para excluir o caso (o limite trata de pontos que se aproximam de , não necessariamente do valor da função em ); -
é a condição de proximidade no eixo .
- o
- A consequência
é a proximidade desejada no eixo . - Importante:
deve pertencer ao domínio de ; se não estiver definida em isso não impede a existência do limite.
Passo 5
Observação sobre a ordem dos quantificadores (muito importante):
A ordem "para todo existe
" é essencial. Não é suficiente que exista algum
fixo que funciona para algum
: é preciso responder a cada
com algum (possivelmente diferente)
.
A ordem "para todo
Passo 6
Exemplo prático (passo a passo) para fixar a técnica — provar que
.
- Começa-se com a meta: dado
queremos garantir sempre que . - Manipulação algébrica (a parte “trabalhar ao contrário” que ajuda a encontrar
):
Queremos
, então basta pedir
.
3) Definição de : escolha
.
4) Verificação formal: seja dado . Se
então
3) Definição de
4) Verificação formal: seja dado
como queríamos. Assim a definição é satisfeita e
.
Passo 7
Estratégias úteis ao construir provas
-
:
- Trabalhar “ao contrário”: comece exigindo
e faça manipulações algébricas para obter uma condição do tipo . Esse “algo” é o candidato a . - Se surgirem fatores dependentes de
(ex.: em ), use uma escolha prévia como para controlar esses fatores (por exemplo, se então ), e depois escolha como o mínimo entre e alguma expressão em . - Sempre verifique formalmente: “dado
, escolha . Então se segue que .”
Passo 8
Observações finais e incentivo:
- A definição parece cheia de quantificadores à primeira vista, mas é só uma maneira precisa de dizer "é possível fazer
tão perto de quanto se queira, tornando suficientemente próximo de ". - Na prática de provas, a habilidade é manipular
para encontrar uma boa escolha de . Treine com funções polinomiais e lineares primeiro; depois passe para racionais e radicais. Você consegue!
Resposta
se, e somente se, para todo
existe
tal que, para todo
no domínio de
,
implica
.