Se
, então
é uma indeterminação do tipo
. Reescreva
para trocá-la para o tipo
e aplique a Regra de L’Hôpital. Esse truque funciona? Aplique a um exemplo específico e mostre os resultados.
Passo 1
O enunciado dá a informação geral:
e
. A ideia proposta é reescrever
para transformar uma indeterminação do tipo
numa do tipo
e então aplicar a Regra de L’Hôpital. O que se pede:
- Dizer se esse truque funciona (em que sentido, e com que hipóteses).
- Aplicar o truque a um exemplo concreto e mostrar os resultados (comparar com aplicar L’Hôpital diretamente ao quociente original).
Informações relevantes dadas:
- Ambos
e divergem para quando , logo e . - Para aplicar L’Hôpital é preciso que os numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em ), e que a forma seja ou .
Passo 2
Breve lembrete da Regra de L’Hôpital (em linguagem simples):
- Se
e são diferenciáveis numa vizinhança puntuada de (isto é, em todos os pontos próximos de exceto talvez em si), e -
e (ou ambos ), - e se
existe (pode ser finito ou ), - então
.
Observação sobre o truque dos recíprocos:
- A identidade
é algebraicamente verdadeira sempre que e são não nulos. Logo transformar em fazendo recíprocos é válido do ponto de vista algébrico. - Contudo, a aplicação de L’Hôpital pede hipóteses de diferenciabilidade sobre as funções que aparecem: ao usar recíprocos, as derivadas envolvem
, , , e potências (por exemplo ), o que pode tornar a verificação das hipóteses ou a manipulação mais trabalhosa. Em termos de validade lógica, se as hipóteses de L’Hôpital são satisfeitas para o quociente dos recíprocos, então o resultado será correto; o truque não é ilegal nem mágico, só muda as funções às quais se aplica L’Hôpital.
Passo 3
Escolher um exemplo específico (vou tomar um caso simples e didático, e para evitar problemas de sinal trabalho com limite pela direita):
- Tome
e . Vou considerar para que tudo seja positivo e fique mais claro.
Verificar as hipóteses iniciais:
Logo temos a indeterminação
.
Passo 4
Calcular o quociente diretamente por simplificação algébrica (método mais simples sempre que possível):
Portanto
Isso já nos dá a resposta final do exemplo. Mas vamos comparar com o truque dos recíprocos e a aplicação de L’Hôpital.
Passo 5
Reescrever usando recíprocos (vira
):
Aqui de novo a simplificação algébrica dá
e o limite é
.
Agora aplicar L’Hôpital ao quociente dos recíprocos (já que numerador e denominador vão para
quando
):
- Numerador:
tem . - Denominador:
tem .
Pela Regra de L’Hôpital:
Resultado:
, coerente com a simplificação direta.
Passo 6
Aplicar L’Hôpital diretamente ao quociente original
(forma
):
-
. -
.
Pela Regra de L’Hôpital:
Também dá
. Note que as expressões obtidas pelos numeradores/denominadores das derivadas diferem (
no caso dos recíprocos após derivar, e
ao derivar diretamente), mas nas duas aplicações o limite é
. Não há contradição porque L’Hôpital garante igualdade dos limites das funções originais com os limites das razões das derivadas quando as hipóteses são satisfeitas — os dois caminhos estão começando de funções iguais e, se ambos os limites das razões das derivadas existem (aqui ambos divergem para
), o valor-limite final da função original é o mesmo.
Passo 7
Discussão geral e conclusões (dicas práticas para prova, numa linguagem leve):
- O truque de reescrever
como é algebraicamente correto sempre que e são não nulos perto de . Ele transforma em porque recíprocos de números grande tendem a . - Aplicar L’Hôpital ao quociente dos recíprocos é permitido se as hipóteses da regra (diferenciabilidade em vizinhança pontuada e forma
) forem satisfeitas. Então, sim, o truque funciona — mas não é um “atalho mágico”: pode tornar as derivadas mais complicadas (aparecem sinais e potências nos denominadores), e às vezes aplicar L’Hôpital direto ao quociente original é mais simples. - Em prova, escolha a abordagem que simplifica os cálculos: se for possível simplificar algébricamente antes de aplicar L’Hôpital (como neste exemplo), faça isso — sempre a melhor opção. Se não houver simplificação clara, transformar numa forma
através dos recíprocos é uma opção válida, desde que se verifiquem as hipóteses. - Atenção a hipóteses: precisa haver diferenciabilidade nas proximidades (exceto talvez no ponto) e denominadores não nulos. Além disso, L’Hôpital exige que a razão das derivadas tenha limite (mesmo que infinito); se essa razão não tiver limite, L’Hôpital não dá uma conclusão.
Resposta
Sim: o truque é válido desde que as hipóteses de diferenciabilidade e não nulidade sejam satisfeitas; pode converter
em
e permitir aplicar L’Hôpital.
Exemplo: para ,
e
,
Exemplo: para
Aplicando o truque e L’Hôpital obtém-se
; aplicando L’Hôpital diretamente também obtém-se
.