Se \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\infty=\lim _{x \rightarrow a} g(x), então \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} é uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}. Reescreva \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}} para trocá-la para o tipo \frac{0}{0} e aplique a Regra de L’Hôpital. Esse truque funciona? Aplique a um exemplo específico e mostre os resultados.

Passo 1

O enunciado dá a informação geral: \lim_{x\to a} f(x)=\infty e \lim_{x\to a} g(x)=\infty. A ideia proposta é reescrever
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}
para transformar uma indeterminação do tipo \dfrac{\infty}{\infty} numa do tipo \dfrac{0}{0} e então aplicar a Regra de L’Hôpital. O que se pede:
  • Dizer se esse truque funciona (em que sentido, e com que hipóteses).
  • Aplicar o truque a um exemplo concreto e mostrar os resultados (comparar com aplicar L’Hôpital diretamente ao quociente original).
Informações relevantes dadas:
  • Ambos f e g divergem para +\infty quando x\to a, logo \dfrac{1}{g(x)}\to 0 e \dfrac{1}{f(x)}\to 0.
  • Para aplicar L’Hôpital é preciso que os numerador e denominador sejam diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e que a forma seja \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Breve lembrete da Regra de L’Hôpital (em linguagem simples):
  • Se u(x) e v(x) são diferenciáveis numa vizinhança puntuada de a (isto é, em todos os pontos próximos de a exceto talvez a em si), e
  • \lim_{x\to a} u(x)=0 e \lim_{x\to a} v(x)=0 (ou ambos \pm\infty),
  • e se \lim_{x\to a} \dfrac{u'(x)}{v'(x)} existe (pode ser finito ou \pm\infty),
  • então \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{u(x)}{v(x)}=\lim_{x\to a}\frac{u'(x)}{v'(x)}.
Observação sobre o truque dos recíprocos:
  • A identidade \dfrac{f}{g}=\dfrac{1/g}{1/f} é algebraicamente verdadeira sempre que f e g são não nulos. Logo transformar \infty/\infty em 0/0 fazendo recíprocos é válido do ponto de vista algébrico.
  • Contudo, a aplicação de L’Hôpital pede hipóteses de diferenciabilidade sobre as funções que aparecem: ao usar recíprocos, as derivadas envolvem f, g, f', g' e potências (por exemplo g^{-2}), o que pode tornar a verificação das hipóteses ou a manipulação mais trabalhosa. Em termos de validade lógica, se as hipóteses de L’Hôpital são satisfeitas para o quociente dos recíprocos, então o resultado será correto; o truque não é ilegal nem mágico, só muda as funções às quais se aplica L’Hôpital.

Passo 3

Escolher um exemplo específico (vou tomar um caso simples e didático, e para evitar problemas de sinal trabalho com limite pela direita):
  • Tome \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}},\quad g(x)=\frac{1}{x} e a=0. Vou considerar \displaystyle x\to 0^{+} para que tudo seja positivo e fique mais claro.
    Verificar as hipóteses iniciais:
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{2}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{+}} g(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.
Logo temos a indeterminação \dfrac{\infty}{\infty}.

Passo 4

Calcular o quociente diretamente por simplificação algébrica (método mais simples sempre que possível):
\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x}}=\frac{1}{x}.
Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.
Isso já nos dá a resposta final do exemplo. Mas vamos comparar com o truque dos recíprocos e a aplicação de L’Hôpital.

Passo 5

Reescrever usando recíprocos (vira \tfrac{0}{0}):
\frac{\frac{1}{g(x)}}{\frac{1}{f(x)}}=\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.
Aqui de novo a simplificação algébrica dá \dfrac{1}{x} e o limite é +\infty.
Agora aplicar L’Hôpital ao quociente dos recíprocos (já que numerador e denominador vão para 0 quando x\to 0^{+}):
  • Numerador: u(x)=x tem u'(x)=1.
  • Denominador: v(x)=x^{2} tem v'(x)=2x.
    Pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{u'(x)}{v'(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2x}=+\infty.
Resultado: +\infty, coerente com a simplificação direta.

Passo 6

Aplicar L’Hôpital diretamente ao quociente original \dfrac{f(x)}{g(x)} (forma \infty/\infty):
  • f'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=-\dfrac{2}{x^{3}}.
  • g'(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{x^{2}}.
    Pela Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\dfrac{2}{x^{3}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}} =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2}{x}=+\infty.
Também dá +\infty. Note que as expressões obtidas pelos numeradores/denominadores das derivadas diferem ( \dfrac{1}{2x} no caso dos recíprocos após derivar, e \dfrac{2}{x} ao derivar diretamente), mas nas duas aplicações o limite é +\infty. Não há contradição porque L’Hôpital garante igualdade dos limites das funções originais com os limites das razões das derivadas quando as hipóteses são satisfeitas — os dois caminhos estão começando de funções iguais e, se ambos os limites das razões das derivadas existem (aqui ambos divergem para +\infty), o valor-limite final da função original é o mesmo.

Passo 7

Discussão geral e conclusões (dicas práticas para prova, numa linguagem leve):
  • O truque de reescrever \dfrac{f}{g} como \dfrac{1/g}{1/f} é algebraicamente correto sempre que f e g são não nulos perto de a. Ele transforma \infty/\infty em 0/0 porque recíprocos de números grande tendem a 0.
  • Aplicar L’Hôpital ao quociente dos recíprocos é permitido se as hipóteses da regra (diferenciabilidade em vizinhança pontuada e forma 0/0) forem satisfeitas. Então, sim, o truque funciona — mas não é um “atalho mágico”: pode tornar as derivadas mais complicadas (aparecem sinais e potências nos denominadores), e às vezes aplicar L’Hôpital direto ao quociente original é mais simples.
  • Em prova, escolha a abordagem que simplifica os cálculos: se for possível simplificar algébricamente antes de aplicar L’Hôpital (como neste exemplo), faça isso — sempre a melhor opção. Se não houver simplificação clara, transformar numa forma 0/0 através dos recíprocos é uma opção válida, desde que se verifiquem as hipóteses.
  • Atenção a hipóteses: precisa haver diferenciabilidade nas proximidades (exceto talvez no ponto) e denominadores não nulos. Além disso, L’Hôpital exige que a razão das derivadas tenha limite (mesmo que infinito); se essa razão não tiver limite, L’Hôpital não dá uma conclusão.

Resposta

Sim: o truque é válido desde que as hipóteses de diferenciabilidade e não nulidade sejam satisfeitas; pode converter \dfrac{\infty}{\infty} em \dfrac{0}{0} e permitir aplicar L’Hôpital.
Exemplo: para f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}, g(x)=\dfrac{1}{x} e x\to 0^{+},
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}=+\infty.
Aplicando o truque e L’Hôpital obtém-se +\infty; aplicando L’Hôpital diretamente também obtém-se +\infty.

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