Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 \pi, satisfazendo:
f(0)=1 e f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede que eu construa uma função periódica não-constante, cujo período mínimo de repetição seja 2\pi, e que satisfaça as condições
f(0)=1
e
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Informações relevantes dadas:
  • Deve ser função periódica.
  • Período mínimo (menor período positivo) deve ser 2\pi.
  • Valores exigidos em pontos específicos: f(0)=1 e f(\pi/2)=0.

Passo 2

Vou lembrar o que significa “função periódica” e “período mínimo” de um jeito direto e sem jargão.
  • Definição de função periódica: uma função f é periódica de período T>0 se, para todo x, vale
f(x+T)=f(x).
Isso significa que o gráfico se repete a cada deslocamento T.
  • Período mínimo (ou período fundamental): é o menor número positivo T tal que a igualdade acima vale para todo x. Se existir um número menor que T que também satisfaça a igualdade, então T não é mínimo.
Essas definições mostram duas coisas importantes que vou precisar verificar para qualquer candidato:
  1. Que a função escolhida repete a cada 2\pi.
  2. Que não existe nenhum T com 0<T<2\pi que também seja período.

Passo 3

Escolha natural (simplicidade): a função cosseno. Proponho
f(x)=\cos x.
Motivação rápida: \cos 0=1 e \cos(\pi/2)=0, então satisfaz as duas condições numéricas exigidas. Vou verificar isso com calma.

Passo 4

Verificação dos valores exigidos:
  • Calcule f(0):
f(0)=\cos 0 = 1,
pois \cos 0 vale 1 por definição da função cosseno no círculo unitário.
  • Calcule f\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right):
f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,
pois \cos(\pi/2)=0. Logo, as duas condições do enunciado estão atendidas.

Passo 5

Mostrar que f(x)=\cos x é periódica com período 2\pi.
Usando a fórmula do cosseno da soma de ângulos:
\cos(x+2\pi)=\cos x\cos(2\pi)-\sin x\sin(2\pi).
Como \cos(2\pi)=1 e \sin(2\pi)=0, obtemos
\cos(x+2\pi)=\cos x\cdot 1 - \sin x\cdot 0 = \cos x.
Portanto 2\pi é um período da função.

Passo 6

Mostrar que o período mínimo é exatamente 2\pi (ou seja, não existe período positivo menor).
Suponha que exista T>0 tal que
\cos(x+T)=\cos x\quad\text{para todo }x.
Escolhendo x=0 na igualdade, temos
\cos T = \cos 0 = 1.
Escolhendo x=\dfrac{\pi}{2}, obtemos
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+T\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
Mas usando identidades trigonométricas,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+T\right) = -\sin T.
Logo -\sin T = 0, ou seja \sin T=0.
As duas condições juntas,
\cos T = 1\quad\text{e}\quad \sin T = 0,
implicam que T é um múltiplo inteiro de 2\pi:
T = 2\pi n\quad\text{com }n\in\mathbb{Z}.
Como estamos buscando o menor T>0, isto dá T=2\pi. Portanto não existe período positivo menor que 2\pi, e assim 2\pi é o período mínimo.
(Observação intuitiva: geometria do círculo unitário — os únicos ângulos com seno 0 e cosseno 1 são os múltiplos de 2\pi.)

Passo 7

Mostrar que a função não é constante:
Basta notar que f(0)=1 e f(\pi)=\cos\pi=-1. Como 1\neq -1, a função assume valores diferentes em pontos distintos, então não é constante.

Resposta

f(x)=\cos x

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