Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a
, satisfazendo:
e
Passo 1
O enunciado pede que eu construa uma função periódica não-constante, cujo período mínimo de repetição seja
, e que satisfaça as condições
e
Informações relevantes dadas:
- Deve ser função periódica.
- Período mínimo (menor período positivo) deve ser
. - Valores exigidos em pontos específicos:
e .
Passo 2
Vou lembrar o que significa “função periódica” e “período mínimo” de um jeito direto e sem jargão.
- Definição de função periódica: uma função
é periódica de período se, para todo , vale
Isso significa que o gráfico se repete a cada deslocamento
.
- Período mínimo (ou período fundamental): é o menor número positivo
tal que a igualdade acima vale para todo . Se existir um número menor que que também satisfaça a igualdade, então não é mínimo.
Essas definições mostram duas coisas importantes que vou precisar verificar para qualquer candidato:
- Que a função escolhida repete a cada
. - Que não existe nenhum
com que também seja período.
Passo 3
Escolha natural (simplicidade): a função cosseno. Proponho
Motivação rápida:
e
, então satisfaz as duas condições numéricas exigidas. Vou verificar isso com calma.
Passo 4
Verificação dos valores exigidos:
- Calcule
:
pois
vale
por definição da função cosseno no círculo unitário.
- Calcule
:
pois
. Logo, as duas condições do enunciado estão atendidas.
Passo 5
Mostrar que
é periódica com período
.
Usando a fórmula do cosseno da soma de ângulos:
Como
e
, obtemos
Portanto
é um período da função.
Passo 6
Mostrar que o período mínimo é exatamente
(ou seja, não existe período positivo menor).
Suponha que exista
tal que
Escolhendo
na igualdade, temos
Escolhendo
, obtemos
Mas usando identidades trigonométricas,
Logo
, ou seja
.
As duas condições juntas,
implicam que
é um múltiplo inteiro de
:
Como estamos buscando o menor
, isto dá
. Portanto não existe período positivo menor que
, e assim
é o período mínimo.
(Observação intuitiva: geometria do círculo unitário — os únicos ângulos com seno
e cosseno
são os múltiplos de
.)
Passo 7
Mostrar que a função não é constante:
Basta notar que e
. Como
, a função assume valores diferentes em pontos distintos, então não é constante.
Basta notar que