Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a
, satisfazendo:
e
Passo 1
O enunciado pede uma função periódica não-constante, com período mínimo de repetição igual a
, que satisfaça as duas condições
e
Informações relevantes fornecidas:
- Há duas condições pontuais para
(em e em ). - É exigido que a função seja periódica com período mínimo (fundamental) igual a
. - A função não deve ser constante.
Passo 2
Escolha do tipo de função (ideia prática e simples).
- Funções trigonométricas
e têm período quando usadas com argumento (ou seja, e têm período ). Então é muito natural tentar uma combinação simples usando e/ou . - Para não complicar demais e resolver as duas condições com poucas incógnitas, escolhemos uma forma linear simples
onde
e
são constantes reais a determinar. Por que essa escolha é boa?
- É não-constante se
. - Tem período
(porque tem período ); veremos o argumento do período mínimo mais adiante. - Com duas constantes
e podemos impor exatamente duas condições pontuais e resolver o sistema resultante.
Passo 3
Aplicar as condições para determinar
e
.
- Usando
:
- Usando
:
- Da segunda equação temos
. Substituindo na primeira:
Portanto obtemos
Passo 4
Verificar que
é periódica de período
.
- A função
satisfaz para todo . Então, para ,
logo
é um período de
.
Passo 5
Mostrar que o período mínimo (fundamental) é exatamente
.
- Seja
um período de : para todo . Usando a identidade de soma para cosseno, ou a identidade de diferença,
- Para que o produto seja zero para todo
, necessariamente (pois varia com ). Assim
ou seja
. O menor
desse tipo é
.
- Como
difere de apenas por uma constante, os períodos são os mesmos; portanto o menor período positivo de é . Concluímos que o período mínimo de repetição é .
Passo 6
Verificar que
não é constante.
- A função
tem coeficiente multiplicando igual a , portanto varia com . Outra verificação rápida: e , valores diferentes, logo não é constante.