Escreva uma função periódica não-constante, de período mínimo de repetição igual a 2 \pi, satisfazendo:
f(0)=2 e f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1

Passo 1

O enunciado pede uma função periódica não-constante, com período mínimo de repetição igual a 2\pi, que satisfaça as duas condições
f(0)=2
e
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • Há duas condições pontuais para f (em 0 e em \tfrac{\pi}{2}).
  • É exigido que a função seja periódica com período mínimo (fundamental) igual a 2\pi.
  • A função não deve ser constante.

Passo 2

Escolha do tipo de função (ideia prática e simples).
  • Funções trigonométricas \sin e \cos têm período 2\pi quando usadas com argumento x (ou seja, \sin x e \cos x têm período 2\pi). Então é muito natural tentar uma combinação simples usando \cos x e/ou \sin x.
  • Para não complicar demais e resolver as duas condições com poucas incógnitas, escolhemos uma forma linear simples
f(x)=a\cos x + b,
onde a e b são constantes reais a determinar. Por que essa escolha é boa?
  • É não-constante se a\neq0.
  • Tem período 2\pi (porque \cos x tem período 2\pi); veremos o argumento do período mínimo mais adiante.
  • Com duas constantes a e b podemos impor exatamente duas condições pontuais e resolver o sistema resultante.

Passo 3

Aplicar as condições para determinar a e b.
  • Usando f(0)=2:
f(0)=a\cos 0 + b = a\cdot 1 + b = a + b = 2.
  • Usando f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1:
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=a\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + b = a\cdot 0 + b = b = 1.
  • Da segunda equação temos b=1. Substituindo na primeira:
a + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a = 1.
Portanto obtemos
f(x)=\cos x + 1.

Passo 4

Verificar que f é periódica de período 2\pi.
  • A função \cos x satisfaz \cos(x+2\pi)=\cos x para todo x. Então, para f(x)=\cos x + 1,
f(x+2\pi)=\cos(x+2\pi)+1=\cos x + 1 = f(x),
logo 2\pi é um período de f.

Passo 5

Mostrar que o período mínimo (fundamental) é exatamente 2\pi.
  • Seja T>0 um período de \cos x: \cos(x+T)=\cos x para todo x. Usando a identidade de soma para cosseno, ou a identidade de diferença,
\cos(x+T)-\cos x = -2\sin\!\left(x+\tfrac{T}{2}\right)\sin\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=0\quad\text{para todo }x.
  • Para que o produto seja zero para todo x, necessariamente \sin\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=0 (pois \sin\!\left(x+\tfrac{T}{2}\right) varia com x). Assim
\sin\!\left(\tfrac{T}{2}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{T}{2}=k\pi \text{ para algum }k\in\mathbb{Z},
ou seja T=2k\pi. O menor T>0 desse tipo é T=2\pi.
  • Como f(x)=\cos x+1 difere de \cos x apenas por uma constante, os períodos são os mesmos; portanto o menor período positivo de f é 2\pi. Concluímos que o período mínimo de repetição é 2\pi.

Passo 6

Verificar que f não é constante.
  • A função f tem coeficiente multiplicando \cos x igual a 1\neq0, portanto varia com x. Outra verificação rápida: f(0)=2 e f(\pi)=\cos\pi+1=(-1)+1=0, valores diferentes, logo f não é constante.

Resposta

f(x)=1+\cos x

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