Escreva a função em série de potencia e determine também o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A gente tem que escrever a função $ f(x) = x^{2} $ como uma série de potências centrada em $ x_{0} = -1 $. Além disso, precisamos descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e entender como elas funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de potências. Basicamente, é uma soma infinita de termos da forma $ a_n (x - x_0)^n $, onde $ a_n $ são os coeficientes e $ x_0 $ é o ponto onde a série está centrada. No nosso caso, $ x_0 = -1 $, então a série vai ter a forma:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os coeficientes $ a_n $ que fazem com que essa série represente a função $ f(x) = x^{2} $. Para isso, a gente pode usar o desenvolvimento de Taylor, que nos dá uma fórmula para os coeficientes:
Onde $ f^{(n)}(x_0) $ é a n-ésima derivada de $ f(x) $ avaliada em $ x_0 $.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de $ f(x) = x^{2} $:
- $ f(x) = x^{2} $
- $ f’(x) = 2x $
- $ f’’(x) = 2 $
- $ f’’’(x) = 0 $ e todas as derivadas acima de duas serão zero.
Agora, avaliando as derivadas em $ x_0 = -1 $:
- $ f(-1) = (-1)^{2} = 1 $
- $ f’(-1) = 2(-1) = -2 $
- $ f’’(-1) = 2 $
- $ f’’’(-1) = 0 $ e assim por diante.
Passo 5
Com esses valores, podemos encontrar os coeficientes $ a_n $:
- $ a_0 = \frac{f(-1)}{0!} = \frac{1}{1} = 1 $
- $ a_1 = \frac{f’(-1)}{1!} = \frac{-2}{1} = -2 $
- $ a_2 = \frac{f’’(-1)}{2!} = \frac{2}{2} = 1 $
- Para $ n \geq 3 $, $ a_n = 0 $ porque as derivadas são zero.
Passo 6
Então, a série de potências fica:
E como todos os outros termos com $ n \geq 3 $ são zero, isso simplifica para:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Como a série é na verdade um polinômio de grau 2, ela converge para a função $ f(x) = x^{2} $ para todo $ x $. Isso significa que o raio de convergência é infinito.
Resposta
A série de potências de $ f(x) = x^{2} $ centrada em $ x_{0} = -1 $ é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.