Expresse a função em série de potências utilizando as funções estudadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar a função $ \frac{x^{2}}{4-5x} $ em uma série de potências. Isso faz parte da matéria de séries de potências, que nos ajuda a representar funções através de somas infinitas de potências de $ x $. Para isso, vamos usar o que já sabemos sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar deixar a função no formato que lembra a série geométrica. A série geométrica tem a forma $ \frac{1}{1 - r} $, onde $ r $ é uma razão. Observando a nossa função $ \frac{x^{2}}{4 - 5x} $, podemos reescrevê-la para se assemelhar a isso.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador para extrair um fator comum. No denominador $ 4 - 5x $, podemos fatorar o 4:
Isso nos deixa com:
Passo 4
Agora, reconhecemos que $ \frac{1}{1 - r} $ é a soma da série geométrica $ \sum_{n=0}^{\infty} r^{n} $, desde que $ |r| < 1 $. No nosso caso, $ r = \frac{5x}{4} $. Então podemos substituir na série geométrica:
Passo 5
Agora, multiplicamos essa série por $ \frac{x^{2}}{4} $ para obter a série de potências da função original:
Resposta
A série de potências da função $ \frac{x^{2}}{4-5x} $ é: