Usando o método de Frobenius, resolva:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem e queremos encontrar soluções perto de um ponto singular, usando o método de Frobenius. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e identificar os coeficientes que vão nos ajudar a aplicar o método.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
Para isso, vamos dividir toda a equação original por
:
Agora, identificamos:
Passo 3
O próximo passo no método de Frobenius é encontrar o ponto singular da equação. Observando os coeficientes
e
, vemos que eles têm singularidades em
. Então, vamos buscar uma solução na forma de uma série de potências centrada em
:
onde
é o expoente que vamos determinar a partir da equação indicial.
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação diferencial. Primeiro, calculamos as derivadas:
Passo 5
Substituímos essas expressões na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 6
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de
. Para o segundo termo, substituímos
por
:
Agora, todas as somas estão em termos de
. Reorganizamos a equação:
Passo 7
Igualamos os coeficientes de cada potência de
a zero. Primeiro, para
, temos a equação indicial:
Dividindo por
(assumindo
):
Simplificando:
Passo 8
Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:
Passo 9
Com os valores de
encontrados, podemos construir as soluções gerais da equação diferencial. Cada valor de
corresponde a uma solução independente. Então, a solução geral é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.