Usando o método de Frobenius, resolva:
2 x^2 y^prime prime-(3+2 x) y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de Frobenius. A equação que temos é:
2 x^2 y'' - (3 + 2 x) y' + y = 0
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem e queremos encontrar soluções perto de um ponto singular, usando o método de Frobenius. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão e identificar os coeficientes que vão nos ajudar a aplicar o método.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear de segunda ordem:
y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0
Para isso, vamos dividir toda a equação original por 2x^2:
y'' - 3 + 2x2x^2 y' + 12x^2 y = 0
Agora, identificamos:
P(x) = -3 + 2x2x^2
Q(x) = 12x^2

Passo 3

O próximo passo no método de Frobenius é encontrar o ponto singular da equação. Observando os coeficientes P(x) e Q(x), vemos que eles têm singularidades em x = 0. Então, vamos buscar uma solução na forma de uma série de potências centrada em x = 0:
y(x) = x^r sumn=0^infty an x^n
onde r é o expoente que vamos determinar a partir da equação indicial.

Passo 4

Substituímos y(x), y'(x) e y''(x) na equação diferencial. Primeiro, calculamos as derivadas:
y'(x) = sumn=0^infty an ( r + n ) x^r + n - 1
y''(x) = sumn=0^infty an ( r + n ) ( r + n - 1 ) x^r + n - 2

Passo 5

Substituímos essas expressões na equação original:
2x^2 sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 2 - (3 + 2x) sumn=0^infty an (r + n) x^r + n - 1 + sumn=0^infty an x^r + n = 0
Simplificando os termos:
2 sumn=0^infty an (r + n)(r + n - 1) x^r + n - 3 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n - 1 - 2 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n + sumn=0^infty an x^r + n = 0

Passo 6

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham a mesma potência de x. Para o segundo termo, substituímos n por n+1:
-3 sumn=1^infty an-1 (r + n - 1) x^r + n - 1
Agora, todas as somas estão em termos de x^r + n. Reorganizamos a equação:
sumn=0^infty [ 2an(r+n)(r+n-1) - 2an(r+n) + an ] x^r+n - 3 sumn=0^infty an (r + n) x^r + n -1 = 0

Passo 7

Igualamos os coeficientes de cada potência de x a zero. Primeiro, para n=0, temos a equação indicial:
2a0 r(r-1) - 2a0 r + a0 = 0
Dividindo por a0 (assumindo a0 neq 0):
2r(r - 1) - 2r + 1 = 0
Simplificando:
2r^2 - 2r - 2r + 1 = 0
2r^2 - 4r + 1 = 0

Passo 8

Resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de r:
2r^2 - 4r + 1 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz16 - 84 = 4 pm raiz84 = 4 pm 2raiz24 = 2 pm raiz22
Então, temos:
r1 = 1 + raiz22
r2 = 1 - raiz22

Passo 9

Com os valores de r encontrados, podemos construir as soluções gerais da equação diferencial. Cada valor de r corresponde a uma solução independente. Então, a solução geral é:
y(x) = C1 x^1 + raiz22 sumn=0^infty an x^n + C2 x^1 - raiz22 sumn=0^infty bn x^n
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral da equação diferencial usando o método de Frobenius é:
y(x) = C1 x^1 + raiz22 sumn=0^infty an x^n + C2 x^1 - raiz22 sumn=0^infty bn x^n
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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