Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = x^2 cos^2(y) + 2 x^2 sen(y) cos(y) + x^2 sen^2(y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, . O que a gente precisa fazer é reescrever essa função como uma função composta e depois encontrar as derivadas parciais em relação a e . Vamos usar conhecimentos de funções compostas e cálculo de derivadas parciais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma mais simples. Observando os termos, percebemos que todos têm em comum. Então, podemos fatorar isso:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que está dentro dos parênteses. A gente pode lembrar que (uma identidade trigonométrica). Além disso, . Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, a função está mais simples e podemos ver que ela é composta por duas funções:
Então, podemos escrever como:

Passo 5

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, é tratado como uma constante, então derivamos :

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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