Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln((e^(x+y^2))^2 + x^2 + y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente tem uma função complicada aí, e o que precisamos fazer é reescrevê-la como uma função composta. Depois, vamos tirar as derivadas parciais dela em relação a e . Para isso, vamos usar o regra da cadeia, que é super útil quando temos funções dentro de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Aqui, é uma função de e . Nossa missão é reescrever isso como uma função composta, ou seja, colocar várias camadas uma dentro da outra para facilitar a derivação.

Passo 3

Vamos decompor a função em partes menores:
  1. Primeira camada:
  2. Segunda camada:
  3. Terceira camada:
  4. Quarta camada:
Agora, temos como uma função composta de , e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Mas vamos ir passo a passo:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
  3. Derivada de em relação a :
  4. Derivada de em relação a :

Passo 5

Juntando tudo:
Lembrando que:
Então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Vamos detalhar:
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada direta de em relação a :

Passo 7

Juntando tudo para :
Substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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