- Uma placa triangular tem o formato descrito pela região triangular no plano
com vértices
e
. Se a função densidade é dada por
, calcule e massa da placa. Sugestão: escreva a integral dupla correspondente como integral iterada de duas formas, e observe que uma delas é bem mais fácil de calcular que a outra.
Passo 1
O enunciado dá:
- A placa triangular ocupa a região do plano
com vértices em , e . - A densidade superficial é
.
O que é pedido:
- Calcular a massa da placa, ou seja, a integral dupla da densidade sobre a região triangular.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os lados do triângulo são as retas que ligam os vértices: a reta entre
e tem equação ; as outras duas são e . - A massa será
onde
é a região triangular indicada.
Passo 2
Descrição da região
de duas maneiras (essas duas descrições correspondem às duas ordens possíveis de integração):
- Como tipo “vertical” (variando
internamente): para fixo em , o varia entre a reta (embaixo) e a reta (embaixo para cima). Assim
- Como tipo “horizontal” (variando
internamente): para fixo em , o varia entre a reta (à esquerda) e a reta (à direita). Assim
(Verifique mentalmente: em
temos só o ponto
; em
temos
de
a
— bate com os vértices dados.)
Passo 3
Escrever a integral dupla como integral iterada nas duas ordens:
- Integrando primeiro em
e depois em (ordem ):
- Integrando primeiro em
e depois em (ordem ):
Observação sobre qual é mais fácil: a densidade
depende somente de
, não de
. Portanto, na primeira ordem (integrando em
primeiro) a integral interna é simples (multiplica-se por comprimento em
). Na segunda ordem aparece
, cuja primitiva é mais complicada (envolve funções logarítmicas ou
). Por isso a primeira ordem é muito mais prática.
Passo 4
Calcular a massa pela ordem mais fácil (integrar em
primeiro).
Partimos de
A função
é constante em relação a
na integral interna, então
Logo
Agora calculamos essa integral por substituição. Faça a troca
Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Podemos reescrever
, obtendo
Passo 5
Breve comentário sobre a outra ordem (opcional, para comparação): se tentássemos integrar primeiro em
teríamos
cuja primitiva é
ou, equivalentemente, envolve
. Avaliar essa expressão entre
e
e depois integrar em
dá um cálculo bem mais trabalhoso — por isso escolhemos a ordem que dá
imediatamente.