(a) Escreva
como um limite das somas de Riemann, tomando como portos amostrais as extremidades direitas. Use um SCA para calcular a soma
limite.
(b) Use o Teorema Fundamental para verificar sua resposta da parte (a).
(b) Use o Teorema Fundamental para verificar sua resposta da parte (a).
Passo 1
O enunciado pede para escrever a integral
como limite de somas de Riemann usando pontos amostrais à direita, e depois calcular esse limite (SCA). Depois, usar o Teorema Fundamental do Cálculo para conferir o resultado. Vamos precisar da definição de partição de
, da expressão do somatório com
direito, e das fórmulas
Passo 2
Dividimos
em
subintervalos de largura
e tomamos como ponto amostral direito
Assim o SCA é
Passo 3
Substituindo
em
:
Expandindo
e multiplicando por 2, obtemos
Multiplicando por
, o somatório vira
Agrupando termos e usando as fórmulas de somatório,
Passo 4
Agora tomamos o limite
:
Logo
Passo 5
Pela primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, uma antiderivada de
é
Pela segunda parte,
que confirma o resultado do limite.
Resposta
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