(a) Escreva \int_{1}^{3}\left(x+2 x^{3}\right) d x como um limite das somas de Riemann, tomando como portos amostrais as extremidades direitas. Use um SCA para calcular a soma e o ~ limite.
(b) Use o Teorema Fundamental para verificar sua resposta da parte (a).

Passo 1

O enunciado pede para escrever a integral
\int_{1}^{3}\bigl(x + 2x^{3}\bigr)\,dx
como limite de somas de Riemann usando pontos amostrais à direita, e depois calcular esse limite (SCA). Depois, usar o Teorema Fundamental do Cálculo para conferir o resultado. Vamos precisar da definição de partição de [1,3], da expressão do somatório com x_{i} direito, e das fórmulas
\sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{i=1}^{n}i^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{i=1}^{n}i^{3} = \biggl(\frac{n(n+1)}{2}\biggr)^{2}.

Passo 2

Dividimos [1,3] em n subintervalos de largura
\Delta x = \frac{3-1}{n} = \frac{2}{n},
e tomamos como ponto amostral direito
x_{i} = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{2i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
Assim o SCA é
\sum_{i=1}^{n} \bigl(x_{i} + 2x_{i}^{3}\bigr)\,\Delta x.

Passo 3

Substituindo x_{i}=1+\tfrac{2i}{n} em x_{i}+2x_{i}^{3}:
x_{i}+2x_{i}^{3} = \bigl(1+\tfrac{2i}{n}\bigr) +2\bigl(1+\tfrac{2i}{n}\bigr)^{3}.
Expandindo \bigl(1+\tfrac{2i}{n}\bigr)^{3}=1+6\tfrac{i}{n}+12\tfrac{i^{2}}{n^{2}}+8\tfrac{i^{3}}{n^{3}} e multiplicando por 2, obtemos
x_{i}+2x_{i}^{3} =3 +14\,\frac{i}{n} +24\,\frac{i^{2}}{n^{2}} +16\,\frac{i^{3}}{n^{3}}.
Multiplicando por \Delta x=\tfrac{2}{n}, o somatório vira
\sum_{i=1}^{n} \Bigl(6\,\frac{1}{n} +28\,\frac{i}{n^{2}} +48\,\frac{i^{2}}{n^{3}} +32\,\frac{i^{3}}{n^{4}}\Bigr).
Agrupando termos e usando as fórmulas de somatório,
S_{n} =6 +14\frac{n+1}{n} +8\frac{(n+1)(2n+1)}{n^{2}} +8\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}.

Passo 4

Agora tomamos o limite n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =6 +14 +16 +8 =44.
Logo
\int_{1}^{3}\bigl(x+2x^{3}\bigr)\,dx =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\bigl(x_{i}+2x_{i}^{3}\bigr)\Delta x =44.

Passo 5

Pela primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo, uma antiderivada de f(x)=x+2x^{3} é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2}.
Pela segunda parte,
\int_{1}^{3}\bigl(x+2x^{3}\bigr)\,dx =F(3)-F(1) =\bigl(\tfrac{9}{2}+\tfrac{81}{2}\bigr) -\bigl(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\bigr) =44,
que confirma o resultado do limite.

Resposta

44

Exercícios relacionados