5-38 Calcule a integral.
{\int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}-2 \alpha^{2}}{u} d u}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{0}\frac{\sqrt{u}-2\alpha^{2}}{u}\,du.
Note que o intervalo de integração vai de u=1 a u=0 e a integranda tem singularidade em u=0. Portanto trata-se de uma integral imprópria que devemos cuidar ao avaliar o comportamento perto de u=0.

Passo 2

Separe a fração em duas parcelas para simplificar a antiderivada:
\frac{\sqrt{u}-2\alpha^{2}}{u} =\frac{\sqrt{u}}{u}-2\alpha^{2}\,\frac{1}{u} =u^{-1/2}-2\alpha^{2}\,u^{-1}.

Passo 3

Encontre uma primitiva F(u) de cada termo:
\int u^{-1/2}\,du =2\,u^{1/2}, \quad \int u^{-1}\,du =\ln|u|.
Logo uma antiderivada geral é
F(u)=2\,u^{1/2}-2\alpha^{2}\,\ln|u|+C.

Passo 4

Para avaliar \int_{1}^{0} usamos
\int_{1}^{0}f(u)\,du =F(0)-F(1).
Porém \ln|u| diverge quando u\to0^+. O termo -2\alpha^{2}\ln|u| gera infinidade, a menos que \alpha=0.
  • Se \alpha\neq0, a integral imprópria diverge (não converge a valor finito).
  • Se \alpha=0, sobra somente
\int_{1}^{0}u^{-1/2}\,du =\bigl[2\,u^{1/2}\bigr]_{1}^{0} =2\cdot0-2\cdot1=-2.

Resposta

A integral é divergente para \alpha\neq0.
Para \alpha=0, o valor é -2.

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