5-38 Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Note que o intervalo de integração vai de
a
e a integranda tem singularidade em
. Portanto trata-se de uma integral imprópria que devemos cuidar ao avaliar o comportamento perto de
.
Passo 2
Separe a fração em duas parcelas para simplificar a antiderivada:
Passo 3
Encontre uma primitiva
de cada termo:
Logo uma antiderivada geral é
Passo 4
Para avaliar
usamos
Porém
diverge quando
. O termo
gera infinidade, a menos que
.
- Se
, a integral imprópria diverge (não converge a valor finito). - Se
, sobra somente
Resposta
A integral é divergente para
.
Para , o valor é
.
Para